2023-2024学年哈尔滨一中、六中、九中高三（上）期末联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年哈尔滨一中、六中、九中高三（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数，则( )
A. 复数实部为 B. 复数虚部为
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
2.已知集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
3.已知，，是不同的直线，，是不同的平面，若直线，直线，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.设函数，已知方程在上有且仅有个根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.下列函数的图象不可能与直线，相切的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数且是奇函数，则( )
A. B. C. D.
7.过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的左右焦点分别为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A. 离心率的取值范围为
B. 的最小值为
C. 不存在点，使得
D. 当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为
10.下列判断正确的是( )
A. 函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
B. 若，则的取值范围是
C. 为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 设满足，满足，则
11.如图，在正四棱柱中，，点，，分别是，，的中点，点是线段，上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得平面
B. 当时，存在，使得平面
C. 存在，使得平面平面
D. 存在，使得平面平面
12.已知数列，，则( )
A. 当时，数列是公差为的等差数列
B. 当时，数列的前项和为
C. 当时，数列前项和等于
D. 当时，数列的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若向量满足，，且在上的投影向量为，则 ______．
14.已知数列满足，，若是等差数列，则 ______；若是等比数列，则 ______．
15.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为______．
16.已知椭圆的左顶点，左焦点，过的右焦点作轴的垂线，为垂线上一点，当椭圆的离心率为时，最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知双曲线的实轴长为，且与双曲线有公共的焦点．
求双曲线的方程；
已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．
求证：平面；
是线段中点，求平面和平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知在数列中，．
令，证明：数列是等比数列；
设，证明：数列是等差数列．
20.本小题分
在中，，点在线段上，，，且，，，
求的值；
求的值和的面积．
21.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸如图
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸以点，所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系．
若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
记问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知，函数．
讨论函数的单调性；
设是的导数证明：
在上单调递增；
当时，若，则．
参考答案
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17.解：由双曲线的焦点为，
所以设双曲线的方程为，
因为，，
解得，所以双曲线的方程为；
由可得，或，
设，或，则，即，
所以，
因为或，所以当时，有最小值为．
18.证明：由已知，顶点在底面上的射影恰为点，
即面，由面，可得，
又，且，，面，
所以面，
在三棱柱中，，
所以平面；
解：过作，以为原点，，，为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为是线段中点，所以，
故，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，可得，
取为平面的一个法向量，
则，
即平面和平面夹角的余弦值为．
19.证明：易知，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
证明：法一：由知，所以，
所以，即，
又，所以，
所以时，，又，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列．
法二：由，
，相减得，
所以
，
又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
20.解：因为，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
将代入得，所以，
解得，代入得；
由，得，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，将代入得，
化简得，解得或，
因为，所以，所以；
在中，由勾股定理得，所以，
所以的面积为．
21.解：如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，
点的轨迹点，为焦点，长轴的椭圆，
，，，，
，则椭圆的标准方程为，
设直线的方程为，将直线方程和椭圆方程联立，
消去得，
其中，
设，，，
则
，
消去和可得，
要使为定值，则，
，，此时，
存在点使得和之积为．

22.解：，
，
令，则，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递增．
证明：，因为，，所以，
所以，设函数，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递增．
要证，只需证当时，的最大值不大于的最大值．
由知在上单调递增，且，
所以在上，在上，
所以函数，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
由于，
所以，所以，，
而
，
所以，
即证若，则．
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