2023-2024学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计年人均将增加元收入，以后每年将在此基础上以的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过元的年份大约是参考数据：，，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.某校高三年级名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为分，则该学生数学成绩的年级排名大约是附：，，( )
A. 第名 B. 第名 C. 第名 D. 第名
6.已知等差数列与各项为正的等比数列满足：，，，则( )
A. B. C. D.
7.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用图是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为：，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举行演讲比赛，位评委对某选手的评分如下：，，，，，，，，，，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下个评分的平均数则下列说法正确的是( )
A. 剩下的个评分的众数为
B. 原来的个评分的分位数
C. 剩下的个评分的平均数比原来的个评分的平均数小
D. 剩下的个评分的方差比原来的个评分的方差小
10.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.设圆的圆心为，双曲线：的左右焦点分别为，，已知圆与双曲线相交于，两点，且，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的焦距为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的焦点到渐近线距离为
D. 过点且与双曲线的右支有个交点的直线的斜率的取值范围是
12.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的取值范围为
D. 当点运动到中点时，与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在处的切线方程为______．
14.的展开式中的系数是______用数字作答
15.已知定义域为的函数满足：，且函数为奇函数，则 ______．
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，点在直线的图象上．
求数列的通项公式；
若数列是首项为且公比为的等比数列，求数列的前项和．
18.本小题分
在三棱台中，已知平面，，，．
证明：平面平面；
若，分别为与的中点，直线与直线相交于点，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的平分线交于点，且求的面积．
20.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
求抛物线的标准方程；
若直线过点且与抛物线相交于，两点，面积为，求直线的方程．
21.本小题分
某企业对个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂产品检验需要进行三项工序、、，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有项检验不通过的产品将其进行改良后再检验、两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”每个产品检验、、三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为．
记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值；
若不需要重新检验的每个产品的检验费用为元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为元除检验费用外，其他费用为万元，且这个产品全部检验，该企业预算检验总费用包含检验费用与其他费用为万元试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．
22.本小题分
设函数，．
讨论函数在区间上的单调性；
若函数在区间上的极值点为且零点为，求证：参考数据：，
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：依题意，由点在直线的图象上，
可得，即，
则当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，．
由题意，可知，
则，
．
18.证明：如图，取的中点，连接，
因为，，
所以且，则四边形为平行四边形，则有，
又，故，所以，
又，，，，平面
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
解：由题以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为在直线上，设，则，
由题意知，，三点共线，可设，
则，解得，，故，
设平面的法向量，，
则，即，令，则，所以，
由平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹住的余弦值为．
19.解：，
在中，由正弦定理得，即，
，即，
，，
又，则；
由题意得，
又，则，即，
由余弦定理得，即，
，解得或不合题意，舍去，
．
20.解：点，，，且，
所以点在的中垂线上，，即，
所以抛物线的标准方程为．
因为直线过点且与抛物线相交于，两点，
所以设直线的方程为，，，
由，得，
由，得且．
则，，
所以，
点到直线的距离，
所以，
解得：，
所以直线的方程为．
21.解：由题知，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为，
首次检验有且只有项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为，
则，
故；
设每个产品检验的费用为元，则的可能取值为，，
由题知，
，
，，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，即，
故该企业检验总费用的期望最大值为万元，故预测不会超过预算．
22.解：，，
当时，，，，即，
函数在区间上单调递增．
证明：，
由知函数在区间上单调递增，
又，，存在唯一的，使得，
当时，，；当时，，，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数在区间上有唯一极值点，
又，
由参考数据，可知，
函数在区间上有唯一的零点，且，
构造函数，，
在上单调递增，
，即，
．
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