2023-2024学年四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）（含答案）

2023-2024学年四川省成都外国语学校高三（上）期末
数学试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知和满足约束条件，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
8.等腰直角三角形中，，该三角形分别绕，所在直线旋转，则个几何体的体积之比为( )
A. B. C. ： D. ：
9.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
10.已知函数的定义域为，其导函数为，若，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______．
14.已知，，则 ______．
15.写出经过坐标原点，且被圆：截得的弦长为的直线的一个方程______．
16.已知抛物线：的焦点为，经过的直线与抛物线交于，两点，设点在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则 ______．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
某日数学老师进行了一次小测验，两班一共有名学生参加了测验，成绩都在内，按照，，，分组，得到如下频率分布直方图：
求图中的值；
求两班全体学生成绩的平均数；每组数据以区间中点值为代表
若根据分层抽样方法从测试成绩在内学生中抽取人进行分析，再随机选取人进行座谈，成绩在内学生人数记为，求的期望值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，已知，，，，是等边三角形，为的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面夹角的正弦值．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
求动点的轨迹方程；
设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数．
若函数无极值，求实数的取值范围；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
在直角坐标系中，直线过点，且其倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
写出直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
当时，直线与曲线交于，两点点在点的上方，求的值．
23.本小题分
已知函数．
当时，解不等式；
设，，且的最小值为若，求的最小值．
参考答案
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13.
14.
15.或写出一个即可
16.或
17.解：设数列的公差为，则，
解得，
；
由知，
．
18.解：由题意得，
解得；
两班全体学生成绩的平均数为：
；
根据题意，测试成绩在内学生有，
测试成绩在和内学生人数比为：：，
从内学生中抽取人，则在内学生有人，在内学生有人，
则在内学生人数，可能取值，，，，
则，，
，，
则的分布列为：
所以．
19.解：证明：取的中点，连接，，
因为是等边的中线，所以，
因为是棱的中点，为的中点，所以，且，
因为所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为，为的中点，所以，从而，
又，，平面，所以平面．
由知，又，，且、平面，
所以平面，从而平面．
以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，．
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由
令，则，，所以．
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为，
即平面与平面所成二面角的正弦值为．
20.解：设，依题意有，，由，
即，
动点的轨迹方程为；
设，，
当时，有，
由弦长公式得，，
，，
，解之得，
此时，点的坐标为或，
存在点满足题意，且为或．
21.解：依题意，，
令，得，
因为，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，
故在上单调递增；
当时，有解，函数在上有增有减，此时函数存在极值．
综上，若函数无极值，则实数的取值范围为．
依题意，由，
得，
即，
设，，
则
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在上，，且，，
当，即时，，在上单调递减，，不符合题意，舍去，
当，即时，
若且，即，
，使得，
当时，，在内单调递减，
，不符合题意，舍去，
若且，即，
，使得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以恒成立，符合题意；
若且，即，恒成立，
在上单调递增，则，符合题意．
综上，实数的取值范围为．
22.解：直线过点，且其倾斜角为，故直线的参数方程为，为参数；
曲线的极坐标方程为，根据，
转换为直角坐标方程为．
当时，参数方程整理为为参数，代入，得到；
故，和为和对应的参数，
解得，
所以．
23.解：当时，，
当时，
，解得，
故，
当时，
，无解，
当时，
，解得，
故，
综上所述，所求不等式的解集为或；
函数，当且仅当时，等号成立，
的最小值为，
则，
，
则，即，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
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