2023-2024学年天津市五所重点校高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年天津市五所重点校高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，四种模型的残差平方和的值分别是、、、则拟合效果最好的模型是( )
A. 模型 B. 模型 C. 模型 D. 模型
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的如图所示，已知正方体棱长为，则该石凳的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图为函数的大致图象，其解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象
9.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设，则的共轭复数为______．
11.二项式的展开式中常数项为______用数字作答
12.已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为______．
13.学校迎元旦文艺演出，遵选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为______；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为______．
14.在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为______．
15.已知函数，且，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，周长为，且满足．
求的值；
若．
求的值；
求的值．
17.本小题分
在直三棱柱中，，，，点是的中点；
求异面直线，所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
设椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为．
求椭圆的标准方程；
点是椭圆上一点不与顶点重合，直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程．
19.本小题分
已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，．
求数列和的通项公式；
求；
若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列若实数满足，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
令．
讨论函数极值点的个数；
若是的一个极值点，且，证明：．
参考答案
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16.解：在中，由及正弦定理，
可得：，而，
解得：；
由知，
又由，可得，
又，解得：，，
则；
由，得，
故，
则，
，
则
．
17.解：以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则可得，，，，
，，
，
异面直线，所成角的余弦值为：；
由知，，，，
设平面的法向量为，
则可得，即
取可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为：
18.解：由题意得：，解得，，
所以椭圆的标准方程方程为．
由知：，如图，设，，
由题意知直线的斜率不等于，设直线的方程为：，
令：，得：，
由，得：，
由根与系数关系得：，
所以得：，
由题意得：，，
又因为：，
由，得：，
易知，同号，则：，得，
故直线的方程为或．
19.解：由，，，
可得，，解得，，
则，；
设，
，
上面两式相减可得
：
由可得，，
由，可得，
则
．
20.解：由，得，所以，，
所以在处的切线方程为，即．
由，得
所以，
当时，，在上是增函数，不存在极值点；
当时，令，则，
显然函数在是增函数，
又因为，，必存在，使，
，，，为减函数；
，，，为增函数，
所以是的极小值点．
综上，当时，无极值点；当时，有一个极值点．
证明：由，得，所以，
因为，所以，
令，在上是减函数，且，
由，得，所以
设，
所以为增函数，，即，所以，
所以，所以，所以
因为，所以，
相乘得，
所以．
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