2024学年第一学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5 DCAAB 6-8 CDD
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AD
10. ABD
11. ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.【答案】##
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）先求出角，由面积公式和余弦定理，求出.
（2）根据正弦定理边化角，再根据三角恒等变换、同角三角函数关系、面积公式即可求出.
【小问1详解】
由得，，
而，
则，又，所以，，
由余弦定理，故.
【小问2详解】
因，由正弦定理得，，
，于是，移项得
，
联立，,得，，
又，
于是，得，
结合，得，，所以.
16.
【解析】
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，分别与直线，联立，求得点、的坐标，再由求解；
（2）分别求得点C，D的坐标，再根据对称性，令，得，得到直线过点，然后由论证即可.
【小问1详解】
解：如图所示：
显然直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
联立，解得点，同理可得点，
由，解得，
直线的方程为.
【小问2详解】
由（1）得，直线的方程为，联立，得点，
同理直线的方程为，联立，得点，
根据对称性，令，得，此时直线过点，
猜测直线CD过定点.
，同理：，
恒成立，、、始终三点共线，所以直线过定点.
17.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行，由线面平行得到面面平行，
再由面面平行证明线面平行；
（2）建立空间直角系，利用向量法求出二面角即可得解.
【小问1详解】
取的中点，连接、，
则，面，面，
面，同理面，
面，故面面，
而面，直线面.
【小问2详解】
因为面，面，
所以，
又，面，
所以面，
所以以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，
设面的一个法向量为，
由，得，令，则，
设面的一个法向量为，
由，而，即，
于是，令，则，
设二面角的平面角为，
则，所以，
则，①
又在直角三角形中，，即，②
联立①②可得，，，
所以.
18.
【解析】
【分析】（1）设圆心并解方程即可求出半径；
（2）将几何问题转代数，转化为圆上动点到定点距离；
（3）转化为直线与圆的交点问题，注意点的轨迹是圆.
【小问1详解】
设圆心，由，
得
解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，则
，
因为表示圆上一动点到点的距离，
于是，
所以范围是.
【小问3详解】
因为的面积为2，而，
到直线的距离为，
又直线的方程为，
设与直线平行且距离为的直线方程为，
令，得或，
设,,由（2）得点是圆上一动点，
则,即,
所以,
解得点的轨迹方程为，
直线与点的轨迹有交点，则，
联立方程，
解得或，
于是直线的方程为或.
19.
【解析】
【分析】（1）根据绝对值方程和不等式的解法，结合新定义即可下结论；
（2）构造函数，运用零点的存在性定理计算即可；
（3）根据条件求出函数的零点，落在给定区间求出范围.
【小问1详解】
假设函数在区间上具有“性质”，则，
而，
故函数在区间上不具有“性质”.
【小问2详解】
由题意得，
令函数，则是函数在上的零点，
且函数在上单调递增，
所以函数在单调递增，
，即，解得.
【小问3详解】
，
化简得，得，
解得，只需，
解得，
即的取值范围是.2024学年第一学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A B. C. D.
2. 已知是虚数单位，，则（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若函数，又，且的最小值为，则的值为（）
A. B. C. D. 4
5. 下列说法错误的有（）
A若A与相互独立，，，则
B. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
C. 从装有3个红球，4个白球袋中任意摸出3个球，事件“至少有2个红球”，事件“都是白球”，则事件A与事件是互斥事件
D. 甲乙两人投篮训练，甲每次投中概率为，乙每次投中的概率为，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为
6. 已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若，，且，则的最小值为（）
A. B. 2 C. 4 D.
8. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（）
A. 椭圆的离心率为
B. 面积的最大值为
C. 到的左焦点的距离的最小值为
D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列说法，其中正确的是（）
A. 数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B. 已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C. 已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D. 一组不完全相同数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10. 过定点的动直线和过定点的动直线，点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（）
A. 对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
B. 直线以与圆相交且最短弦长为
C. 动点的轨迹与圆相交
D. 为定值
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），有下列正确的命题（）
A. 三棱锥体积为；
B. 若平面，则直线不可能垂直于直线；
C. 平面截正方体的截面为等腰梯形；
D. 三棱锥的外接球的表面积为.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则向量在向量上的投影向量是______.
13. 点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是________.
14. 2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线是“双纽线”，若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，且，
（1）若，，求.
（2）若，，求.
16. 已知两点，，过点的直线与直线，的交点分别为、两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，
（1）当时，求直线的方程；
（2）判断直线是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由.
17. 如图，已知四棱锥，，，，点，分别是，的中点，面.
（1）证明：直线面；
（2）若二面角的正弦值为，求.
18. 已知圆经过，两点，圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）是圆上一动点，求的范围；
（3）已知为的中点，若的面积为2，求直线的方程.
19. 在区间上，若函数满足:对给定的非零实数，存在，使成立，则称函数在区间上有“性质”.
（1）若区间为，给定，判断函数是否在区间上具有“性质”，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有“性质”，求的取值范围；
（3）给定，若函数在区间（其中）上具有“性质”，求的取值范围.
