浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题（含答案）

浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知，是不共线的单位向量，若，，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.“直线与圆有公共点”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某袋子中有大小相同的个白球和个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：，过的直线分别交双曲线左右两支为，，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则( )
A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量~B(8,),则D()=
B. 残差平方和越大, 模型的拟合效果越好
C. 若随机变量~N(,),则当减小时,P(|-|<)保持不变
D. 一组数据的极差不小于该组数据的标准差
10.某校南门前有条长米，宽米的公路如图矩形，公路的一侧划有个长米宽米的停车位如矩形，由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中，则( )
A. B.
C. 该路段改造后的停车位比改造前增加个 D. 该路段改造后的停车位比改造前增加个
11.如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则( )
A. ，，，四点不共面
B. 该几何体的体积为
C. 过四点，，，四点的外接球表面积为
D. 截面四边形的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，若，则 ．
13.已知等比数列的前项和为，若，则 ．
14.已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足
Ⅰ求角的大小
Ⅱ若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程
Ⅱ若有两个极值点，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆在第一象限上的一点，直线，分别交轴于点，．
Ⅰ求的值
Ⅱ在直线上取一点异于，使得．
(ⅰ)证明：，，三点共线
(ⅱ)求与面积之比的取值范围．
19.本小题分
每个正整数有唯一的“阶乘表示”为，这些满足
其中每个都是整数，且，．
Ⅰ求正整数，，，的“阶乘表示”
Ⅱ若正整数对应的“阶乘表示”为，正整数对应的“阶乘表示”为，其中，求证：
Ⅲ对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值．
参考答案
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15.解：Ⅰ取中点，连结，，
，，，，
，，为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
Ⅱ过作于点，
，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，
，，，，
又，，．
又，，
计算可得，，
取中点，连结，，
则即为二面角的平面角，
又计算可得，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：Ⅰ由，
可得，
由正弦定理可得，
即，
即，
因为，所以，
则，
又，所以．
Ⅱ由，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
则的周长．
17.解：Ⅰ，
，
，即切线的斜率为，
又，
所求切线方程为；
Ⅱ，
令，，
则，
令得，
当时，在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以存在唯一的零点，
又得，
所以且时，有两个极值点，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，
当时，，
又，
所以只需，解得；
当时，，在上单调递增，
所以在上只有一个零点，
所以只有一个极值点，故不符合．
综上：的取值范围为
18.解：Ⅰ设，则，，且，
，，，．
直线：，令，得；
直线：，令，得
所以．
Ⅱ
(ⅰ)直线：，
由点在直线上以及，得
代入，整理得，
即，
显然，上述关于的一元二次不等式有一个实根，
整理上式得，，
由韦达定理，
，
由得，
所以，
直线，
将点坐标代入，满足该直线方程，故，，三点共线，得证．
(ⅱ)设点横坐标为，则，
，
因为，所以．

19.解：因为，故“阶乘表示”为；
，故“阶乘表示”为
，故“阶乘表示”为
因为，故“阶乘表示”为．
Ⅱ因为，
因为，故，所以，由于，所以，
即，依次化简可得，所以．
Ⅲ由于，由于，
故，
所以，即，
累加可得，
即，当，时取到最小值，此时，解得，即，所以．
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