1.4.2 充要条件 作业（含解析） 高中数学（人教A版2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 作业
【基础训练】
1．“x＞0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(河南洛阳高一期中)设A，B是两个集合，则“A B”是“A∪B＝B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设p：四边形为菱形，q：四边形的对角线互相垂直，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(河北保定高一月考)设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　)
A．a，b都为1 B．a，b都不为1
C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0
5．“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是________．
6．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；
(2)“x＜5”是“x＜3”的________________．
7．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
【能力训练】
8．(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
9．使不等式0＜＜1成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．0＜x＜ B．x＞1
C．x＞2 D．x＜0
10在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制，当一个人的基因型为AA或 Aa时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa 时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个 A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________．
12．在下列电路图中，所给说法正确的是________(填序号).
①如图(1)，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
②如图(2)，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
③如图(3)，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
④如图(4)，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
13．已知m∈Z，关于x的一元二次方程①mx2－4x＋4＝0和②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求使方程①和②的根都是整数的充要条件．
【创新训练】
14．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则△ABC为直角三角形的充要条件是a2－b2＝c2.试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．
答案解析
1.答案　A
解析　由“x＞0” “x≠0”，反之不一定成立．因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2.答案　C
解析　由A∪B＝B，得A B，反之亦成立，则“A B”是“A∪B＝B”的充要条件．故选C.
3.答案　A
解析　若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p q；反之，四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，即qp.所以p是q的充分不必要条件．
4.答案　C
解析　因为ab＋1＝a＋b，所以a(b－1)－(b－1)＝0，所以(b－1)(a－1)＝0，解得a＝1或b＝1，所以a，b中至少有一个为1. 故选C.
5.答案　a＜－1
解析　因为方程x2－2x－a＝0没有实数根，所以有Δ＝4＋4a＜0，解得a＜－1，因此“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的必要条件是a＜－1.反之，若a＜－1，则Δ＜0，方程x2－2x－a＝0无实数根，从而充分性成立．故“方程x2－2x－a＝0没有实数根”的充要条件是“a＜－1”．
6.答案　(1)充要条件　(2)必要不充分条件
解析　(1)x2－1＝0 |x|－1＝0，
∴“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件；
(2)x＜3 x＜5，但x＜5x＜3，∴“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．
7.证明　 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，即0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
8.答案　ACD
解析　x＜－2 x2＞4，但x2＞4 x＞2或x＜－2，故A正确；AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误；a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故C正确；当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选ACD.
9.答案　C
解析　0＜＜1 x＞1，故使不等式0＜＜1成立的一个充分不必要条件可以是x＞2.
10.答案　A
解析　若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是aa，所以孩子的基因型也一定是aa，所以一定有“孩子为单眼皮”．
若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型是aa，但是父母的基因型可能都是Aa或一个是Aa，一个是aa，所以父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选A.
11.答案　－2
解析　当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
12.答案　①②③
解析　对于①，开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，①正确．对于②，开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，②正确．对于③，开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，③正确．对于④，开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，④错误．
13.解　由已知条件得m≠0.
方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4m×4≥0且m≠0，解得m≤1且m≠0.
方程②有实数根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－.所以－≤m≤1且m≠0.
因为m∈Z，所以m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0，均有整数根．
所以，方程①和②的根都是整数 m＝1；反之，m＝1 方程①和②的根都是整数．
故方程①和②的根都是整数的充要条件为m＝1.
14.解　△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2＞c2.
证明：充分性：若a2＋b2＞c2，则△ABC不是直角三角形．
若△ABC为钝角三角形，则∠C＞90°，
过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(如图(1))，
由勾股定理知c2＝BD2＋(b＋CD)2＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b＝a2＋b2＋2·CD·b＞a2＋b2，矛盾，
故△ABC为锐角三角形，充分性成立．
必要性：过点A作边BC的垂线，垂足为D(如图(2))，
由勾股定理知，c2＝AD2＋BD2＝AD2＋(a－CD)2＝b2－CD2＋(a－CD)2＝a2＋b2－2·CD·a＜a2＋b2.故必要性成立．
故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2＞c2.