高中数学（人教A版2019）必修第一册1.5.1 全称量词与存在量词 作业（含解析）

1.5.1 全称量词与存在量词 作业
【基础训练】
1．下列命题是全称量词命题的是(　　)
A．存在一个实数的平方是负数
B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数
D．存在一个实数x，使得x2＝x
2．(北京首都师范大学附属密云中学高一月考)给出以下命题：
① x∈Z，x2－2x－3＝0；② x∈R，x2>0；③有些自然数是偶数；④ x∈R，x2＋x＋1≤0.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．0＜a＜4 B．a＞4 C．a＜0 D．a≥4
4．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“ ”写成存在量词命题为________________．
6．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________．
7．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)若x∈{1，3，5}，则3x＋1是偶数；
(2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对(x，y)都对应一点；
(3)存在一个实数x，使得x2－x＋1＝0；
(4)至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除．
【能力训练】
8．(多选)下列全称量词命题中真命题有(　　)
A．负数不能开根号
B．对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab
C．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
D． x∈R，y∈R，都有x2＋|y|＞0.
9．(多选)下列结论中正确的是(　　)
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
10．若“ x∈{xa－2x≥－1”为假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a} B．{a}
C．{a} D．{a}
11．若“ x∈{x}，m≥x2＋2x－3”是真命题，则实数m的取值范围是________.
12．已知p：x2＋2x－m＞0，如果x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题，则实数m的取值范围是____________．
13．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3≥0；命题q： x∈{x}，使得x2＋2x＋a≥0.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p是假命题，命题q是真命题，求实数a的取值范围．
【创新训练】
14．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1)若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q： x∈A，x∈B是真命题，求m的取值范围．
答案解析
1.答案　B
解析　选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题．故选B.
2.答案　B
解析　当x＝－1∈Z时，(－1)2－2×(－1)－3＝0，故 x∈Z，x2－2x－3＝0.故①是真命题；当x＝0时，x2＝0，故②不是真命题；2，4是偶数，所以有些自然数是偶数是真命题，故③是真命题；因为x2＋x＋1＝＋≥＞0，故④不是真命题. 所以真命题的个数为2.故选B.
3.答案　B
解析　因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a＜0，即a＞4.
4.答案　C
解析　当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4，故选C.
5.答案　 x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0
解析　存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
6.答案　{a|a≤3}
解析　由题意{x|x＞3} {x|x＞a}，用数轴表示两集合关系如图，所以a≤3.
7.解　(1)全称量词命题．
∵3×1＋1＝4，3×3＋1＝10，5×3＋1＝16均为偶数，
∴其为真命题．
(2)全称量词命题．
任一有序实数对(x，y)都与平面直角坐标系中的点(x，y)唯一对应，其为真命题．
(3)存在量词命题．
∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3<0，
∴x2－x＋1＝0无实数根，
∴其为假命题．
(4)存在量词命题．
∵6能同时被2和3整除，∴其为真命题．
8.答案　ABC
9.答案　CD
解析　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以AB错误，CD正确．故选CD.
10.答案　A
解析　因为 x∈{x}，a－2x≥－1为假命题，即a<2x－1在x∈{x}上有解，所以a＜(2x－1)max.因为(2x－1)max＝2×1－1＝1，所以实数a的取值范围为{a}．故选A.
11.答案　{m}
解析　因为“ x∈{x}，m≥x2＋2x－3”是真命题，则 x∈{x}，x2＋2x－3－m≤0.
令y＝x2＋2x－3－m，则该二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，－1∈{x}，所以对于方程x2＋2x－3－m＝0，Δ＝4－4(－3－m)≥0，即m≥－4时，一定存在x∈{x}，满足y≤0.故实数m的取值范围是m≥－4.
12.答案　3≤m＜8
解析　由x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题，
得解得3≤m＜8.
13.解　(1)若命题p是真命题，则ax2＋2x＋3≥0在R上恒成立．当a＝0时，2x＋3≥0，不能恒成立；当a≠0时，只需满足即所以a≥.
若命题p是假命题，则a＜.故a的取值范围是.
(2)若命题q为真命题，则 x∈{x}，使得x2＋2x＋a≥0，即当1≤x≤2时，y＝x2＋2x＋a的最大值大于或等于0.
因为二次函数y＝x2＋2x＋a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，所以当x＝2时，y取得最大值，即22＋2×2＋a≥0，所以a≥－8，
所以当p假q真时，a＜且a≥－8，即a的取值范围为.
14.解　(1)由于命题p： x∈B，x∈A是真命题，
所以B A，B≠ ，所以
解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.
所以
解得2≤m≤4.