高中数学（人教A版2019）必修第一册2.2 第1课时 基本不等式 作业（含解析）

2.2 第1课时 基本不等式 作业
【基础训练】
1．给出条件①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t
3．(湖南邵阳经纬实验学校高一期中)若0A．＜＜a＜b B．a＜＜＜b
C．＜a＜＜b D．a＜＜＜b
4.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A．≤(a＞0，b＞0)
B．＜(a＞0，b＞0，a≠b)
C．≤(a＞0，b＞0)
D．＜＜(a＞0，b＞0，a≠b)
5．若a＞b＞c，则与的大小关系是______________________．
6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
7．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
【能力训练】
8．(安徽江淮名校高三质检)已知正数a，b满足(a－1)(b－2)＝4，则a＋4b的最小值为(　　)
A．16 B．17 C．18 D．19
9．(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4 D．≥4
10．(多选)有下列式子，正确的有(　　)
A．a2＋1＞2a B．≥2
C．≥2 D．x2＋≥1
11．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
12．若a，b都是正数，则的最小值为________．
13．(1)若a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd；
(2)若a，b，c都是正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
【创新训练】
14．(福建高二期末)设a＞0，b＞0，c＞0，证明：
(1)＋≥；
(2)＋＋≥＋＋.
.
答案解析
1.答案　C
解析　由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以．故选C.
2.答案　A
解析　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，即s≥t，故选A.
3.答案　B
解析　因为04.答案　D
解析　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.因为DE＜DC＜DO，所以＜＜(a＞0，b＞0，a≠b).故选D.
5.答案　≥
解析　因为a＞b＞c，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
6.答案　x≤
解析　用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
∴1＋x＝ ≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时，等号成立．
7.证明　∵x，y都是正数，
∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0，x＋y≥2＞0，
∴x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0(当且仅当x＝y时等号成立).
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．
8.答案　B
解析　由(a－1)(b－2)＝4，得或
当时，又a>0，b>0，∴
此时(a－1)(b－2)＝4不可能成立，故a＋4b＝(a－1)＋4(b－2)＋9≥2＋9＝17，
当且仅当即时取等号．故选B.
9.答案　ACD
解析　设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立．故选ACD.
10.答案　BD
解析　∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，
∴a2＋1≥2a，故A错误；
对于B，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；
当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，故B正确；
对于C，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故C错误；
对于D，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故D正确．
11.答案　x＜y
解析　由题意得x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2.
又∵x＞0，y＞0，∴x＜y.
12.答案　9
解析　＝1＋＋＋·
＝5＋＋≥5＋2 ＝9(当且仅当b＝2a时，等号成立).
13.证明　(1)由a，b，c，d都是正数，利用基本不等式可知，ab＋cd≥2，当且仅当ab＝cd时，等号成立；
ac＋bd≥2，当且仅当ac＝bd时，等号成立．
所以(ab＋cd)(ac＋bd)≥2·2＝4abcd，
即有(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd，当且仅当a＝d，b＝c时，等号成立．
(2)由a，b，c都是正数，利用基本不等式可知，
b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立；
c2＋a2≥2ac，当且仅当a＝c时，等号成立；
a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab＝6abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
14.证明　(1)∵a＞0，b＞0，
∴(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，
∴＋≥.
(2)由(1)可得＋≥，
同理可得＋≥，＋≥，
三式相加，得2≥＋＋，
∴＋＋≥＋＋