高中数学（人教A版2019）必修第一册2.2 第2课时 基本不等式的应用 作业（含解析）

2.2 第2课时 基本不等式的应用 作业
【基础训练】
1．已知正数a，b满足a＋4b＝12，则ab的最大值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
2．已知x＞，则y＝4x＋的最小值为(　　)
A．－3 B．2 C．5 D．7
3.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9 B． C．3 D．
4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)
A．0 B． C．1 D．
5．已知直角三角形的斜边长为20 cm，则该直角三角形面积的最大值是________.
6．设0＜m＜，若＋≥k恒成立，则k的最大值为________．
7．为迎接四川省第十六届少数民族传统体育运动会，凉山民族体育中心进行了改造翻新，在改造凉山民族体育中心时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15 年，已知每千套座椅建造成本是8 万元，设每年的管理费用为y 万元，总座椅数为x 千套，两者满足关系式：y＝(0≤x≤8).15 年的总维修费用为80 万元，记w(单位：万元)为15 年的总费用．请问当设置多少套座椅时，15 年的总费用w最小？并求出最小值．(总费用＝ 建造成本费用 ＋ 使用管理费用＋总维修费用)
【能力训练】
8．(黑龙江哈尔滨师范大学青冈实验中学高一期中)已知a>0，b>0，3a＋b＝3ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2＋3 B．4＋3 C．2＋4 D．＋
9．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
10．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是(　　)
A．(1，4) B．(6，8) C．(7，12) D．
11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a＋b＝4，且＋＞t恒成立，则实数t的取值范围是________.
12．已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
13．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000
元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．
(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？
【创新训练】
14．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求x3－3x(x＞0)的最小值．
解：利用基本不等式a＋b＋c≥3(a，b，c＞0)，得到x3＋1＋1≥3x，
于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，
当且仅当x＝1时，取到最小值－2.
(1)老师请你模仿例题，研究x4－4x，x＞0的最小值[提示：a＋b＋c＋d≥4(a，b，c，d＞0)]；
(2)研究x3－3x(x＞0)的最小值；
(3)当a＞0时，求x3－ax(x＞0)的最小值．
答案解析
1.答案　C
解析　因为a，b为正数，a＋4b＝12，所以ab＝a·4b≤＝×62＝9，
当且仅当a＝4b＝6时，等号成立，
所以当a＝6，b＝时，ab取得最大值9.故选C.
2.答案　D
解析　∵y＝4x＋＝4x－5＋＋5，
又x＞，∴4x－5＞0，∴4x－5＋≥2，
故y≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝.
3.答案　B
解析　因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，
所以≤＝，
当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．
即(－6≤a≤3)的最大值为.
4.答案　A
解析　因为x＞0，所以x＋＞0，
所以y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＋＝，
即x＝时，等号成立，所以函数的最小值为0.
5.答案　100 cm2
解析　设直角三角形的两直角边长分别为a cm，b cm，
由题意得a2＋b2＝400≥2ab，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，∴ab≤200，∴ab≤100.
故该直角三角形面积的最大值为100 cm2.
6.答案　8
解析　由题意可知1－2m＞0，k≤.
又＋＝[2m＋(1－2m)]＝2＋2＋2≥8，当且仅当＝，即m＝时，等号成立．故k≤8，所以k的最大值为8.
7.解　由题意得，建造成本费用为8x(0≤x≤8) 万元，
使用管理费用为(0≤x≤8) 万元，
所以w＝8x＋＋80(0≤x≤8)，
则w＝4(2x＋5)＋＋60≥180，
当且仅当4(2x＋5)＝，即x＝5时，w取得最小值，即当设置5 千套座椅时，15 年的总费用w最小，最小值为180 万元．
8.答案　D
解析　因为3a＋b＝3ab，所以＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝1＋＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立，
所以a＋b的最小值为＋.故选D.
9.答案　B
解析　因为a＞0，b＞0，
所以＋≥ ＋＝5＋＋≥m.由a＞0，b＞0得＋≥2 ＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．所以5＋＋≥9，所以m≤9.故选B.
10.答案　AC
解析　设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于A，(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于B，(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤，不符合题意；对于C，(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式得xy≤，不符合题意，故选AC.
11.答案　(－∞，1)
解析　因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)＝≥＝1，当且仅当即a＝b＝2时等号成立．因为＋>t恒成立，所以t<1.
12.答案　10
解析　要使xy≥m－2恒成立，即使m≤xy＋2恒成立，
∴只要m≤(xy＋2)min即可．
∵x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，
∴xy＝x＋2y≥2，当且仅当x＝2y，
即x＝4，y＝2时取等号．
令t＝，则t2≥2t，
∴t≥2，即xy≥8，∴xy＋2的最小值为10，
∴m≤10，即m的最大值为10.
13.解　(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x.
当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04，所以y＝×300＋0.04×3 000x＝＋120x(x∈N*).
(2)由(1)得y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立，所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台．
14.解　(1)由x＞0，知x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，当且仅当x＝1时，取到最小值－3.
(2)由x＞0，知x3－3x＝x3＋3＋3－3x－6≥3x－3x－6＝－6，当且仅当x＝3时，取到最小值－6.
(3)由a＞0，x＞0，知x3－ax＝x3＋＋－ax－≥ax－ax－＝－，
当且仅当x3＝＝时，
取到最小值－.