高中数学（人教A版2019）必修第一册2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 作业（含解析）

2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 作业
【基础训练】
1．不等式 x2－2x>0的解集是(　　)
A．{x}
B．{x}
C．{x}
D．{x}
2．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a＞4，或a＜－4} B．{a|－4＜a＜4}
C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4}
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜－2，或x＞1} D．{x|－1＜x＜2}
5．已知集合M＝{x|－9x2＋6x－1＜0}，N＝{x|x2－3x－4＜0}，则M∩N＝__________________________．
6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____________．
7．解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
(2)－x2＋6x－9≥0；
(3)x2－2x－3>0；
(4)－4x2＋4x－1>0.
【能力训练】
8．某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)时，因弄错常数b的符号，解得解集为{x}．若该同学解不等式的过程正确，则不等式cx2＋bx＋a<0 的解集为(　　)
A． B．
C． D．
9．(多选)(合肥期末)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集可能是(　　)
A． B．{x}
C． D．R
10．(衡阳高二期末)已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a＜0} B．{a|0≤a≤4}
C．{a|a≥4} D．{a|0＜a＜4}
11．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
12．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________________．
13．已知关于x的不等式ax2＋2x－a＋2>0.当a∈R时，求此不等式的解集．
【创新训练】
14．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的整数解恰有3个，求a的取值范围．
答案解析
1.答案　B
解析　由x2－2x>0，得x(x－2)>0，解得x>2或x<0.故选B.
2.答案　C
解析　不等式①的解集显然不为R；不等式②对应方程的根的判别式Δ1＝(－2)2－4×>0，所以不等式②的解集不为R；不等式③对应方程的根的判别式Δ2＝62－4×10<0，且对应函数图象的开口向上，故不等式③的解集为R；不等式④可化为2x2－3x＋3<0，其所对应的二次函数图象开口向上，显然不等式④的解集不为R.故选C.
3.答案　A
解析　不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，所以Δ＝a2－4×1×4＞0，解得a＞4或a＜－4.
4.答案　B
解析　因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1.故选B.
5.答案　
解析　解不等式－9x2＋6x－1＜0得，
即M＝.
解不等式x2－3x－4＜0得{x|－1＜x＜4}，
即N＝{x|－1＜x＜4}．
∴M∩N＝.
6.答案　{x|x＜－1，或x＞3}
解析　
由已知画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象，如图，所以不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}．
7.解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.
对于方程2x2－x＋6＝0，易知函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，
因为Δ＝(－1)2－4×2×6＝－47<0，
所以函数y＝2x2－x＋6的图象与x轴无交点，大致如图1所示，
由图1可知原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图2所示，
由图2可知原不等式的解集为{x}．
(3)易知方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3，
则函数y＝x2－2x－3的图象与x轴有两个交点，分别为点(－1，0)和点(3，0)，
又函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，
所以该函数的图象如图3所示，
由图3可得原不等式的解集为{x}．
(4)原不等式可化为4x2－4x＋1<0，
易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，
画出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图4所示，
由图4可知原不等式的解集为 .
8.答案　C
解析　由题意知 ，a<0，且－6＋1＝，－6×1＝，所以b＝－5a，c＝－6a，所以cx2＋bx＋a<0 可化为6x2＋5x－1<0，解得－1＜x＜.故选C.
9.答案　AB
解析　易知关于x的一元二次方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根分别为，－1，
当a＞0时，＞－1，∴原不等式的解集为；
当a＜0时，
①若a＝－1，则＝－1，∴原不等式的解集为{x}；
②若－1＜a＜0，则＜－1，
∴原不等式的解集为；
③若a＜－1，则＞－1，
∴原不等式的解集为.
故选 AB.
10.答案　D
解析　因为命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以命题的否定“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4.故选D.
11.答案　0＜a＜8
解析　因为不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，所以Δ＝(－a)2－8a＜0，解得0＜a＜8.
12.答案　{k|k≥4，或k≤2}
解析　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
13.解　当a＝0时，ax2＋2x－a＋2>0即为2x＋2>0，解得x＞－1.
当a≠0时，由方程(x＋1)＝0，解得x＝－1或x＝＝1－.
当a＜0时，ax2＋2x－a＋2＞0即为(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1－.
当a＞0时，ax2＋2x－a＋2＞0即为(x＋1)＞0.
当－1＜1－，即a＞1时，解得x＞1－或x＜－1；
当－1＞1－，即0＜a＜1时，解得x＜1－或x＞－1；
当－1＝1－，即a＝1时，解得x≠－1.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x}；
当a<0时，原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式的解集为；
当0当a＝1时，原不等式的解集为{x}．
14.解　原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0.
①当－1＜a≤1时，结合不等式解集的形式知不符合题意；
②当a＞1时，解原不等式可得＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上，a的取值范围是1＜a＜3.