高中数学（人教A版2019）必修第一册3.3 幂函数 作业（含解析）

3.3 幂函数 作业
【基础训练】
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
2．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
3．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
4．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．b5．已知函数y＝x，y＝和y＝的图象都经过同一个点，则该点的坐标为________.
6．已知幂函数f(x)的图象过点(3，)，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间[，2]上的最小值是________；最大值是________．
7．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f()的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
【能力训练】
8．已知幂函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
9．已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为(　　)
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
10．(多选)若函数f(x)＝xα，则(　　)
A．f(x)的图象经过点(0，0)和(1，1)
B．当f(x)的图象经过点(－1，－1)时，f(x)为奇函数
C．当f(x)的图象经过点(－1，1)时，f(x)为偶函数
D．当α>0时，存在f(x)使得f()11．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1的图象关于原点对称，则满足(a＋1)m＞(3－2a)m成立的实数a的取值范围为________.
12．若幂函数y＝f(x)的图象过点(8，2)，则函数f(x－1)－f2(x)的最大值为________．
13．已知幂函数f(x)＝(2m2－5m＋3)xm是定义在R上的偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，f(x)的图象总在函数y＝kx－2图象的上方，求实数k的取值范围．
【创新训练】
14．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间．
答案解析
1.答案　C
解析　根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2.答案　A
解析　由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
3.答案　A
解析　函数y＝x3为奇函数且定义域为R，该函数图象应与①对应；函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．故选A.
4.答案　A
解析　a＝2＝16，c＝25，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，可得a5.答案　(1，1)
解析　易知这三个函数定义域的公共部分为(0，＋∞)，则根据幂函数的性质可知这三个函数的图象都经过点(1，1).
6.答案　0　
解析　设幂函数y＝f(x)＝xα，α是常数，其图象过点(3，)，∴3α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1＝，x≠0.又函数g(x)＝(2x－1)f(x)＝＝2－在区间[，2]上单调递增，∴函数g(x)的最小值是g()＝2－2＝0，最大值是g(2)＝2－＝.
7.解　(1)由题意知m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
当m＝2时，f(x)＝x－3，为奇函数，不满足题意；
当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，
∴f(x)＝x－4，
∴f()＝()－4＝16.
(2)由f(x)＝x－4和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，
∴a＝－1或a＝－.
8.答案　A
解析　由函数f(x)＝是幂函数，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3；当m＝－1时，f(x)＝x－6.因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x3.又a＋b>0，所以a>－b，所以f(a)＞f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0.故选A.
9.答案　A
解析　当α＝－1时，y＝xα的值域不是R，当α＝2时，y＝xα是偶函数，当α＝1，3时，y＝xα的值域为R，且为奇函数，因此选项A正确，故选A.
10.答案　BC
解析　根据幂函数的图象性质可知，当α<0时，幂函数的图象不经过点(0，0)，故A错误；当f(x)的图象经过点(－1，－1)时，f(－1)＝(－1)α＝－1，易知当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于原点对称，又f(－x)＝(－x)α＝(－1)αxα＝－xα＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，B正确；当f(x)的图象经过点(－1，1)时，f(－1)＝
(－1)α＝1，易知当α>0时，f(x)的定义域为R，当α<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于原点对称，又f(－x)＝(－x)α＝(－1)αxα＝xα＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确；当α>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f()>f()，D错误．故选BC.
11.答案　
解析　因为函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x2是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3是奇函数，其图象关于原点对称，符合题意，所以m＝2.所以不等式(a＋1)m>(3－2a)m可化为(a＋1)2>(3－2a)2，即(3a－2)(a－4)<0，解得＜a＜4.所以实数a的取值范围为.
12.答案　－
解析　设函数f(x)＝xα，由题意可知8α＝2，
∴α＝，∴f(x)＝x＝.
令h＝f(x－1)－f2(x)，则h＝－x.令＝t，则x＝t2＋1，且t≥0，∴h＝t－(t2＋1)＝－t2＋t－1，t≥0，且当t＝时，hmax＝－.
13.解　(1)∵幂函数f(x)＝(2m2－5m＋3)xm是定义在R上的偶函数，∴2m2－5m＋3＝1，解得m＝2或m＝.∵当m＝2时，f(x)＝x2，是偶函数，当m＝时，f(x)＝，不是偶函数，∴m＝2，∴f(x)＝x2.
(2)∵在区间[－1，1]上，f(x)的图象总在函数y＝kx－2图象的上方，即x2>kx－2在[－1，1]上恒成立，记g(x)＝x2－kx＋2，则g(x)＝x2－kx＋2>0在[－1，1]上恒成立，当＞1，即k＞2时，函数g(x)＝x2－kx＋2在[－1，1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝1－k＋2＝3－k，令3－k>0，解得k<3，故20，解得k>－3，故－3综上，实数k的取值范围为(－3，3).
14.解　(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点(2，)在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).
由题意及图象可知h(x)＝根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞).