高中数学（人教A版2019）必修第一册3.4 函数的应用(一) 作业（含解析）

3.4 函数的应用(一) 作业
【基础训练】
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套(　　)
A．2 000双 B．4 000双
C．6 000双 D．8 000双
2某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A． B．
C． D．－1
3．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150 吨时利润最大，此时每吨的价格为40 元，则有(　　)
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
4．某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)＝(k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是(　　)
A．40分钟 B．35分钟
C．30分钟 D．25分钟
5．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10 000元，每天需要房租、水、电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P(x)(元)与店面经营天数x的关系是P(x)＝则总利润最大时店面经营天数是________．
6．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表．
季度 1 2 3 4
每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
7．某商场经营一批进价是每件30 元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【能力训练】
8．以大小为v(单位：m/s)，方向为竖直向上的速度从地面发射子弹，经过时间t(单位：s)的子弹高度h(单位：m)可由二次函数h(t)＝vt－4.9t2确定．已知发射后第5 s末时的子弹高度为245 m，则下列关于子弹在245 m以上的高度能持续的时间描述正确的是(　　)
A．10 s B．大于5 s小于10 s
C．大于10 s D．5 s
9．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2020年总收入为200 亿元，其中保险业务收入为150 亿元，理财业务收入为50 亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20 亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为(　　)
A． B． C． D．
10．某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是(　　)
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC.已知AB＋BC＋CD为定值l，腰CD与直线BC的夹角为60°，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为________.
12．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分)之间的关系满足如图所示的图象，当x∈[0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，图象过点B(12，78)；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为________．(写成区间形式)
13．某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用(单位：元)和使用的上网流量(单位：GB)之间的关系如图所示，其中AB，DE都与横轴平行，BC与EF相互平行．
(1)分别求套餐甲、乙应付的费用(单位：元)与使用的上网流量x(单位：GB)的函数关系式f(x)和g(x)；
(2)根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？
【创新训练】
14．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L－1)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝
当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg·L－1且不高于10 mg·L－1时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为4 mg，问：自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
答案解析
1.答案　D
解析　由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．
2.答案　D
解析　设这两年生产总值的年平均增长率为x，由题意得(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.故选D.
3.答案　A
解析　设生产x吨产品全部卖出，利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1 000(x＞0).
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40，所以解得
4.答案　C
解析　由题意可得当n＝M时，＝12，当n＝9时，＝20，解得k＝60，M＝25，∴f(n)＝
∵n＝4<25，∴f(4)＝＝30.即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟．
5.答案　200
解析　设总利润为y.
当0≤x<300时，y＝300x－x2－100x－10 000＝－(x－200)2＋10 000，
∴当x＝200时，ymax＝10 000；
当x≥300时，y＝45 000－100x－10 000＝35 000－100x≤5 000.
故总利润最大时店面经营天数是200.
6.答案　20
解析　设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m＝＝20时，y取最小值．
7.解　(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，可以获得最大的日销售利润．
8.答案　D
解析　由题意知，h(5)＝245，所以5v－4.9×52＝245，解得v＝73.5，所以h(t)＝73.5t－4.9t2，其图象的开口向下，对称轴为直线t＝－＝7.5，所以子弹在245 m以上的高度能持续的时间为2×(7.5－5)＝5(s).故选D.
9.答案　A
解析　因为该公司2020年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加20亿元，所以2025年的总收入为300亿元．因为要求从2020年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥.故t的值至少为.故选A.
10.答案　B
解析　以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系(图略).则由题设条件知，抛物线的顶点M(1，)，A点坐标为(0，10).于是可设抛物线方程为y＝a(x－1)2＋.将A点坐标(0，10)代入该方程可求得a的值为－.∴抛物线方程为：y＝－(x－1)2＋.令y＝0，得(x－1)2＝4，∴x＝3或x＝－1(舍去).∴B点的坐标为(3，0)，故OB＝3，故选B.
11.答案　S＝h(l－h)
解析　如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E.易知∠EDC＝60°.
在△CDE中，ED＝CD，CE＝h＝CD，所以CD＝AB＝h.因为CD＋BC＋AB＝l，所以BC＝l－h，所以AD＝BC＋2ED＝l－h，所以S＝＝h(l－h).
12.答案　(4，28)
解析　当x∈[0，12]时，设f1(x)＝a(x－10)2＋80，将(12，78)代入得，a＝－，则f1(x)＝－(x－10)2＋80.当x∈[12，40]时，设f2(x)＝kx＋b，将(12，78)，(40，50)代入得则f2(x)＝－x＋90.
故或
解得4故教师在(4，28)时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
13.解　(1)对于套餐甲，当0≤x≤20时，f(x)＝30，
当x≥20时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
由题图可知函数f(x)的图象经过点(20，30)，(50，120)，
所以解得所以f(x)＝3x－30.
故f(x)＝
对于套餐乙，当0≤x≤50时，g(x)＝60，
当x≥50时，根据题意可设g(x)＝3x＋d，
将(50，60)代入可得d＝－90，所以g(x)＝3x－90.
故g(x)＝
(2)由f(x)＝g(x)，可得3x－30＝60，解得x＝30.
结合题图可知，若用户使用的流量x∈[0，30)，则应选择套餐甲；若用户使用的流量x＝30，则选择两种套餐均可；若用户使用的流量x∈(30，＋∞)，则应选择套餐乙．
14.解　(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，
y＝
当0当x>4时，由≥4，得2x＋28≥4(x－1)，
解得4综上，0所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
(2)由题意，知0y＝mf(x)＝
当0当x>4时，y＝＝＋，其在区间(4，7]上单调递减，则≤y<3m.
综上，≤y≤3m.
为使4≤y≤10恒成立，只要满足≥4且3m≤10，
即≤m≤，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为.