高中数学（人教A版2019）必修第一册4.2.1 指数函数的概念 作业（含解析）

4.2.1 指数函数的概念 作业
【基础训练】
1．(多选)下列函数是指数函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝2x＋1 C．y＝2－x D．y＝πx
2．若函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b＋3)都是指数函数，则ab＝(　　)
A． B．1 C．9 D．8
3．我国2015年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2025年底我国人口总数是(　　)
A．M(1＋p)8 B．M(1＋p)9
C．M(1＋p)10 D．M(1＋p)11
4．已知f(x)＝3x，g(x)＝9x，若f(a)·g(b)＝，则下列各式正确的是(　　)
A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
6．已知函数f(x)＝则f(－)＋f()＝________．
7．重庆的锶矿资源非常丰富，其锶矿储量居全国第一．某科研单位在研发锶矿产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：g)的关系为：当0≤x≤2时，y是x的指数函数；当2x/g 1 3 4 5 …
y 2 5 4 1 …
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)问这种新材料的含量为多少时，锶矿产品的性能达到最佳？
【能力训练】
8．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞)
C．∪(1，＋∞) D．
9．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
10．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.下列说法正确的是(　　)
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍的面积不超过80 m2
D．若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3
11．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为________元．
12．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝________.
13．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
【创新训练】
14．截止到2020年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万).
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2031年年底的人口数是多少？(精确到1万)
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
答案解析
1.答案　CD
解析　形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数是指数函数，要求其系数为1.A选项不满足形式要求；B选项的系数为2；C选项y＝2－x＝满足；D选项满足．故选CD.
2.答案　D
解析　根据题意，得2a＝1，且－(b＋3)＝0，解得a＝，b＝－3.所以ab＝＝8.故选D.
3.答案　C
解析　从2015年底到2025年底经过了10年，所以2025年底的人口总数为M(1＋p)10.
4.答案　C
解析　由3a·9b＝知，3a·32b＝3－1，即3a＋2b＝3－1，从而a＋2b＝－1.
5.答案　7
解析　由题意可得解得
∴f(x)＝()x＋3，∴f(－2)＝()－2＋3＝4＋3＝7.
6.答案　3
解析　因为f(－)＝f()－1＝4－1＝1，f()＝4＝2，所以f(－)＋f()＝1＋2＝3.
7.解　(1)当0≤x≤2时，y是x的指数函数，设y＝ax(a>0，且a≠1).
由题表知，当x＝1时，y＝2，于是2＝a1，得a＝2，所以当0≤x≤2时，y＝2x.
当2由题表知，当x＝3时，y＝5；当x＝4时，y＝4；当x＝5时，y＝1.
所以解得
所以当2所以y关于x的函数解析式为
y＝
(2)当0≤x≤2时，y＝2x，则当x＝2时，y取得最大值4；当2因为4<5，所以当x＝3时，y取得最大值5.
故这种新材料的含量为3 g时，锶矿产品的性能达到最佳．
8.答案　C
解析　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.
9.答案　CD
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y＝＝，B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n·[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．故选CD.
10.答案　AD
解析　将点(1，3)的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，所以函数的解析式为y＝3t.对于A，由＝2，可得浮萍每月的增长率为2，A正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2(m2)，第2个月增加的面积为32－31＝6(m2)，2≠6，B错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81>80，C错误；对于D，由题意可得3t1＝2，3t2＝4，3t3＝8，因为42＝2×8，所以(3 t2)2＝3 t1×3 t2，即32 t2＝3 t1＋t2，所以2t2＝t1＋t3，D正确．故选AD.
11.答案　2 400
解析　由题意每隔5年计算机的价格变为现在的，15年之后价格下降了3次，所以经过15年后计算机价格应降为8 100×＝2 400(元).
12.答案　23
解析　因为f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(a)＝2a＋＝5，所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋＝－2＝25－2＝23.
13.解　(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x.
(2)F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x是奇函数．证明如下：F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．
14.解　(1)2020年年底的人口数为130万；经过1年，2021年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2022年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万).
…
所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).
即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)2031年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).
(3)由(2)可知，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.
2032年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2033年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).
所以2033年年底的人口数将达到135万．