高中数学（人教A版2019）必修第一册4.3.2 对数的运算 作业（含解析）

4.3.2 对数的运算 作业
【基础训练】
1．(多选)下列等式不成立的是(　　)
A．log2(8－4)＝log28－log24
B．＝log2
C．log28＝3log22
D．log2(8＋4)＝log28＋log24
2．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6 B．12
C．log6 D．
3．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3
4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A． B． C． D．
5．计算(lg －lg 25)÷100－＝________．
6．若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________．
7．计算下列各式的值：
【能力训练】
8．已知x，y，z都是大于1的正数，m＞0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　)
A． B．60 C． D．
9．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg )2的值等于(　　)
A．2 B． C．4 D．
10．在数学中连乘符号是“∏”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“∏”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：＝1×2×3×…×n.函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义：使 f（i）为整数的数k(k∈N*)叫做“企盼数”，则在区间[1，2 023]内，这样的“企盼数”共有________个．
11．若log37×log29×log49m＝log4，则m＝________．
12．声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa(帕))；“声压级”S(单位：dB(分贝))表示声压的相对大小，已知S＝20×
lg ，两个不同声源的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝.现有两个声压级为60 dB的声源，叠加后的声压级是________dB(参考数据：lg 2≈0.3).
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)、燃料的质量M(单位：kg)和火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(1＋)2 000(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s).
【创新训练】
14．已知2y×logy4－2y－1＝0, ×log5x＝－1，试问：是否存在一个正数P，使得P＝ ？
答案解析
1.答案　ABD
解析　由对数的运算性质易知C正确．
2.答案　C
解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6.
3.答案　A
解析　因为lg x＝lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg ，所以x＝.
4.答案　B
解析　log36＝＝＝.
5.答案　－20
解析　(lg －lg 25)÷100－＝－2÷＝－20.
6.答案　4
解析　因为lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，
所以由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
7.
8.答案　B
解析　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
9.答案　A
解析　由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，
lg a lg b＝，于是(lg )2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a lg b＝22－4×＝2.
10.答案　9
解析　令g(k)＝f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)，
∵f(k)＝＝，∴g(k)＝××…×＝＝log2(k＋2).
要使g(k)成为“企盼数”，则k＋2＝2n，n∈N*.∵k∈[1，2 023]，∴k＋2∈[3，2 025]，即2n∈[3，2 025].∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048，∴可取n＝2，3，…，10.∴在区间[1，2 023]内，这样的“企盼数”共有9个．
11.答案　
解析　由已知得××＝××＝＝log2m＝log222－1，
即log2m＝－，
所以m＝2－＝＝.
12.答案　63
解析　由20×lg ＝60，得P＝，则P1＝P2＝，叠加后的总声压为＝(Pa)，所以叠加后的声压级是20×lg ＝20×
lg ＝20×lg (×103)＝20×＝20×≈20×3.15＝63(dB).
13.解　因为v＝ln (1＋)2 000＝2 000×ln (1＋)，
所以v＝2 000×ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
14.解　由2y×logy4－2y－1＝0，得2y(logy4－)＝0，所以logy4＝，即y＝16.
由 ×log5x＝－1，得 ＝－，则 ＝－logx5＞0.
(logx5＋1)＝(－logx5)2，整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，所以＝25.
所以P＝ ＝＝3，
即存在一个正数P＝3，使得P＝ 成立．