高中数学（人教A版2019）必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异 作业（含解析）

4.4.3 不同函数增长的差异 作业
【基础训练】
1．已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
2．在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是(　　)
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
4．有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
5．已知某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．
6．某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年到第八年每年的年产量保持不变．其中说法正确的序号是________.
7．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
【能力训练】
8．(多选)(南京建邺月考)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
9．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
10．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中，正确信息的序号是(　　)
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
11．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b(a≠0)，Q＝at2＋bt＋c(a≠0)，Q＝a·bt(a>0，且a≠1)，Q＝a·logat(a>0，且a≠1).
利用你选取的函数，求解：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
12.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
13．某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8，64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x所在的范围．
【创新训练】
14．(烟台高一期末)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备设计一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型：①y＝0.03x＋8；②y＝0.8x＋200；③y＝100log20x＋50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求；
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
答案解析
1.答案　B
解析　当x＝3时，y1＝8，y2＝9，y3＝log23<2，故y2>y1>y3，故选B.
2.答案　D
解析　函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0＜a＜1，选项B中a＞1，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D.
3.答案　D
解析　当t＝0时，s＝0，甲、乙同时出发；甲跑完全程s所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．
4.答案　C
解析　通过所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，A，B中的函数增长速度越来越慢，不正确；对于C，当x＝6时，y≈21.33；对于D，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故选C.
5.答案　300
解析　由第一年有100只，得a＝100.
将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
6.答案　②④
解析　由题图可知，前三年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确．
7.解　据表中数据作出散点图如图．
由图可以看出用一次函数模型不吻合，
选用对数型函数比较合理．
不妨将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，
解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
8.答案　ABC
解析　由题图可知，投资3天以内(含3天)，采用方案一的回报最多，所以A正确；若投资4天，则方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确；若投资6天，则方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确；若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多，所以采用方案三，所以D错误．故选ABC.
9.答案　C
解析　对于A，当x＝3时，y＝0.6与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6与0.76差距较大，故排除D，故选C.
10.答案　ABC
解析　看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确；D错误．
11.答案　(1)120　(2)80
解析　根据表中数据可知该函数不单调，所以种植成本Q与上市时间t的关系为Q＝at2＋bt＋c(a≠0)，且该二次函数图象开口向上．
(1)二次函数图象的对称轴方程为t＝＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.
(2)将题表中的数据代入Q＝at2＋bt＋c(a≠0)中，得解得
所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224
＝80(元/100 kg).
12.答案　①③
解析　由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.
当t＝4时，y＝＜，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．
13.解　(1)由题意知y＝logax是增函数，∴a>1，
又当x∈[8，64]时，y∈[3，6]，
∴解得a＝2，∴y＝
(2)由题意得解得16≤x≤100，∴年奖金y∈[4，10]时，年销售额x的取值范围为[16，100].
14.解　(1)由题意，符合公司要求的函数在[3 000，9 000]上为增函数，且对 x∈[3 000，
9 000]，恒有y≥100且y≤.
①函数y＝0.03x＋8，当x＝3 000时，y＝98＜100，不符合要求．
②函数y＝0.8x＋200为减函数，不符合要求．
③函数y＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上为增函数，且当x＝3 000时，ymin＞100log2020＋50＞100；
当x＝9 000时，ymax＝100log209 000＋50＜100×log20160 000＋50＝450，而≥＝600，
所以当x∈[3 000，9 000]时，ymax＜，
所以当x∈[3 000，9 000]时，y≤恒成立．
因此，y＝100log20x＋50为满足条件的函数模型．
(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．