高中数学（人教A版2019）必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解 作业（含解析）

4.5.1 函数的零点与方程的解 作业
【基础训练】
1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(山西太原高一期末)函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．3
5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点为________.
6．方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
7．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
【能力训练】
8．关于函数f(x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；
丁：方程f(x)＝有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1C．x110．若函数f(x)＝－log2x与函数g(x)＝－logx的零点分别为x1，x2，则x1x2所在区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．[1，＋∞)
11．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．
12．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为________．
13．已知函数f(x)＝|x2－4|＋x2＋ax，a∈R.
(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)当a＝4时，求函数f(x)的零点；
(3)若方程f(x)＝0在(0，4)上有两个不同的实数根x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围．
【创新训练】
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；
(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有①一个零点；②两个零点；③三个零点？
答案解析
1.答案　B
解析　由题表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，又因为函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．
2.答案　D
解析　依题意知，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，
由图可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1的图象与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点，故选D.
3.答案　C
解析　易知函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝＞0，f(3)＝－log23＝1－log23<0，所以f(2)·f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2，3)内．故选C.
4.答案　A
解析　f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证．当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1，2)上有零点．同理，其他选项不符合，选A.
5.答案　－8和2
解析　当x≤0时，令y＝f(x)－3＝－3＝0，解得x＝－8；当x>0时，y＝f(x)－3＝x＋log2x－3在(0，＋∞)上单调递增，且y＝0，故y＝f(x)－3在(0，＋∞)内有且仅有一个零点x＝2.综上所述，函数y＝f(x)－3的零点为－8和2.
6.答案　3
解析　令f(x)＝lg x＋2x－8，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续，因为f(1)＝－6＜0，f(2)＝lg 2－4＜0，f(3)＝lg 3－2＜0，f(4)＝lg 4＞0，所以f(3)f(4)＜0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.
7.解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－(舍去).
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为x＝0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝＝＋，令＝t，则g(t)＝t＋t2＝－.
∵t>0，∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，其值域为(0，＋∞)，∴2a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞).
8.答案　B
解析　当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－a为增函数；当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确；由两零点之积为0，得必有一个零点为0，则由f(0)＝20－a＝0，得a＝1，若甲正确，则f(6)＝0，即b－6＝0，则b＝6，可得f(x)＝由f(x)＝可得或解得x＝log2或x＝，方程f(x)＝有两个不等的实根，故丁正确，甲正确，乙错误；若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝由f(x)＝可得或解得x＝log2，此时方程f(x)＝只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上可知，甲正确，乙错误．故选B.
9.答案　A
解析　易得f(x)＝2x＋x在R上单调递增，因为f(－1)＝2－1－1＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，即f(－1)·f(0)<0，所以f(x)在(－1，0)内存在唯一零点，即x1∈(－1，0).易得g(x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，因为g＝＋log2＝－1＝－<0，g(1)＝1＋log21＝1>0，即g·g(1)<0，所以g(x)在内存在唯一零点，即x2∈.令h(x)＝0，即x3＋x＝0，即(x2＋1)x＝0，解得x＝0，即x3＝0.综上，x110.答案　A
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝，y＝log2x，y＝logx的图象，如图所示，可以发现，0＜x2＜1，1＜x1＜2.又＝log2x1，＝logx2＝－log2x2，则
－＝log2(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1.
因而x1x2∈(0，1).故选A.
11.答案　
解析　当a＝0时，f(x)＝－x＋2.令f(x)＝0，解得x＝2，所以函数只有一个零点2，符合题意；当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.综上a＝或a＝0.
12.答案　(1)1和3　(2)(4，＋∞)
解析　(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
只需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞).
13.解　(1)由f(－x)＝f(x)得|x2－4|＋x2－ax＝|x2－4|＋x2＋ax，即2ax＝0对任意实数x都成立，∴a＝0.
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)＝4＋4x，令4＋4x＝0，解得x＝－1；当x＞2或x＜－2时，f(x)＝2x2＋4x－4，令2x2＋4x－4＝0，解得x＝－1±，∴x＝－1－.综上，函数f(x)的零点为－1和－1－.
(3)当|x|≤2时，f(x)＝ax＋4，方程ax＋4＝0在(0，4)上最多有一个实数根；当|x|＞2时，f(x)＝2x2＋ax－4，可得方程2x2＋ax－4＝0，若x1，x2均为该方程的两个根，则x1·x2＝－2，不合题意．故x1∈(0，2]，x2∈(2，4).由ax1＋4＝0得a＝－，∴a≤－2；由2x＋ax2－4＝0得a＝－2x2，∴－7＜a＜－2.综上所述，a的取值范围为{a|－7＜a＜－2}．
14.解　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x.设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，所以f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示．
(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，结合(1)中函数的图象可知：①当k＜－1或k＞1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有一个交点．即函数g(x)＝f(x)－k有一个零点；②当k＝－1或k＝1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有两个零点；③当－1＜k＜1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有三个零点．