高中数学（人教A版2019）必修第一册4.5.2 用二分法求方程的近似解 作业（含解析）

4.5.2 用二分法求方程的近似解 作业
【基础训练】
1．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)
A． B． C．ε D．2ε
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A．[－1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]
3．(多选)下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，不正确的是(　　)
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
4.是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数f(x)＝x2－2(x>0)，我们知道f(1)·f(2)<0，所以∈(1，2)，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)至少二等分的次数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
6．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝________．
7．证明方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，求求出这个实数解．(精确度0.1)
【能力训练】
8．设f(x)＝3x＋3x－8，现用二分法求关于x的方程3x＋3x－8＝0在区间(1，2)内的近似解，已知f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则方程的根所在的区间为(　　)
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
10．(多选)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题不正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
11．若函数f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为________.
12．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
13．如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)
【创新训练】
14．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点．若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.答案　B
解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过.
2.答案　C
解析　f(－1)＝－＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选[1，2].
3.答案　BCD
解析　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
4.答案　B
解析　设对区间(1，2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，则第n次二等分后区间长为，依题意得<0.1，即2n>10，∴n≥4，即至少二等分4次．
5.答案　a2＝4b
解析　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
6.答案　1.437 5
解析　由于f(1.5)＞0，f(1.375)＜0，故下一个应求f(1.437 5)，故m＝1.437 5.
7.证明　设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1，2]，取x1＝1.5，
∵f(1.5)≈1.33＞0，∴f(1)·f(1.5)＜0，
∴x0∈(1，1.5)；取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0，
∴f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1，1.25)；
取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0，
∴f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125，1.25)；
取x4＝1.187 5，∵f(1.187 5)≈－0.16＜0，
∴f(1.187 5)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，
∴1.2可作为这个方程的实数解．
8.答案　B
解析　因为f(1)<0，f(2)>0，且f(x)的图象在(1，2)上连续，所以f(x)在(1，2)上至少存在一个零点．因为f(1.5)>0，所以f(x)在(1，1.5)上存在零点．因为f(1.25)<0，所以f(x)在(1.25，1.5)上存在零点，所以方程的根所在的区间为(1.25，1.5).故选B.
9.答案　A
解析　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如图：
由图知g(x)的零点0＜x0＜，又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A.
10.答案　ABC
解析　f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点的区间可能是(0，1)，(1，2)，(0，2)，但它们都包含于(0，4)，因此选项D正确．故选ABC.
11.答案　2或－1
解析　由函数f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数f(x)的图象在x轴上方或下方(包括x轴)，且与x轴有交点．当a＋2＝0，即a＝－2时，f(x)＝－4x＋1，能用二分法求零点，不符合题意；当a＋2≠0，即a≠－2时，此时f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1为二次函数，而f(x)有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点，即(a＋2)x2＋2ax＋1＝0有两个相等的实根，由此可得Δ＝4a2－4(a＋2)＝0，解得a＝2或a＝－1.综上所述，实数a的值为2或－1.
12.答案　4　7
解析　先解方程f(f(x))－1＝0得出f(x)的值．
(1)当f(x)≤0时，可得f(f(x))－1＝f(x)＋1－1＝0，
可得f(x)＝0；
(2)当f(x)>0时，可得f(f(x))－1＝|ln f(x)|－1＝0.
可得f(x)＝e或f(x)＝.
下面解方程f(x)＝0，f(x)＝e和f(x)＝.
①当x≤0时，由f(x)＝x＋1＝0可得x＝－1，
由f(x)＝x＋1＝e可得x＝e－1(舍去)，
由f(x)＝x＋1＝可得x＝－1；
②当x>0时，由f(x)＝|ln x|＝0可得x＝1，
由f(x)＝|ln x|＝e可得x＝ee或x＝e－e.
综上所述，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为7.
13.解　(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数，
解析式为：y＝x(15－2x)2，x∈(0，7.5)；
(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2·x＝150.
下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解．
令f(x)＝x(15－2x)2－150，由计算器可以确定f(x)分别在(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2·x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解．
下面用二分法求方程的近似解．
取区间(0，1)的中点x1＝0.5，计算得f(0.5)＝－52，所以零点x0∈(0.5，1).
再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75，1).
同理可得x0∈(0.75，0.875)；x0∈(0.812 5，0.875)，此时区间的长度小于0.1，所以方程在区间(0，1)内精确度为0.1的近似解可取为0.85.同理可得方程在区间(4，5)内精确度为0.1的近似值为4.7，所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子时，截去小正方形的边长大约是0.85 cm或4.7 cm.
14.解　(1)易知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴即∴－13≤m≤3，∴实数m的取值范围是[－13，3].
(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，易求出f(－1)＝9，f(1)＝－7.
∵f(－1)·f(1)＜0，f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)＝－1＜0，∴f(－1)·f(0)＜0，∴x0∈(－1，0).
∵f＝＞0，∴f·f(0)＜0，
∴x0∈.
∵f＝＞0，∴f·f(0)＜0，
∴x0∈.
∵f＝＞0，∴f·f(0)＜0，
∴x0∈.
∵＝＜＝0.2，
∴所求区间为.