高中数学（人教A版2019）必修第一册4.5.3 函数模型的应用 作业（含解析）

4.5.3 函数模型的应用 作业
【基础训练】
1．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).每一万件的售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件
2某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是144 h，在20 ℃的保鲜时间是36 h，则该食品在30 ℃的保鲜时间是(　　)
A．16 h B．18 h C．20 h D．24 h
3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈(　　)
A．16 B．20 C．32 D．90
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区流行性疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制病情传播，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63 C．66 D．69
5．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．
6．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为____________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________．
7．某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的15%.若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金．试分析函数模型y＝f(x)＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否符合集团的奖励原则，并说明原因．(参考数据：lg 2≈0.3)
【能力训练】
8．(多选)某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四个选项中，正确的是(　　)
①前三年总产量增长的速度越来越快
②前三年总产量增长的速度越来越慢
③笫3年后至第8年这种产品停止生产了
④第8年后至第12年间总产量匀速增加
其中正确的说法的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
x 8 9 10 11
f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f(x)＝bx＋a；f(x)＝ax2＋bx＋c；f(x)＝＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为(　　)
A．28元/斤 B．25元/斤
C．23元/斤 D．21元/斤
10．专家对某地区传染病暴发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单元：天)与病情暴发系数f(t)之间，满足函数模型：f(t)＝，当f(t)＝0.1时，标志着病情将要大面积暴发，则此时t约为(参考数据：e1.1≈3)(　　)
A．38 B．40 C．45 D．47
11．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg 中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477).
12．为了预防流感病毒，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式为________________；
(2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
13．(四川乐山高一期末)为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2—4 h为每小时1元(不足1 h按1 h计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元．
(1)分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间x(0(2)假如你的停车时间不超过4 h，A方案与B方案如何选择？说明理由．(定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作[x]，比如[2]＝2，[2.1]＝3)
【创新训练】
14．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝1.002x，y＝lg x＋3，y＝．(参考数据：1.002900≈6.039)
(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求？请说明理由；
(2)基于(1)所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大？请求出最大值．
答案解析
1.答案　B
解析　设一个月利润为y，
则y＝20x－x2－2x－20＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，y取最大值．
2.答案　B
解析　∵y＝ekx+b，食品在0 ℃的保鲜时间是144 h，在20 ℃的保鲜时间是36 h，
∴解得e20k＝，即e10k＝，∴y＝e30k+b＝e20k+b·e10k＝36×＝18，即该食品在30 ℃的保鲜时间是18 h．故选B.
3.答案　C
解析　因为r＝0.6lg I，所以I＝10
当r＝6.5时，I1＝10；
当r＝7.4时，I2＝10.
所以n＝＝10÷10＝10＝10×≈32.
4.答案　C
5.答案　300
解析　设计算机价格平均每年下降p%，由题意可得＝(1－p%)3，所以p%＝1－，所以9年后的价格大约为y＝8 100×＝8 100×＝300(元).
6.答案　10　15 m/s
解析　由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s).
7.解　对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，当x＝100时，y＝9，代入函数模型得9＝lg 100＋100k＋5，解得k＝，所以f(x)＝lg x＋x＋5，易知奖励原则为①f(x)在区间[50，500]上单调递增；②7≤f(x)≤0.15x在区间[50，500]上恒成立，当x∈[50，500]时，f(x)是增函数，符合奖励原则①，当x＝50时，f(50)＝lg 50＋6＝8－lg 2≈7.7≥7，0.15x＝0.15×50＝7.58.答案　C
解析　由图可知，前三年是由快变慢，第3～8年总产量未发生变化，即停止生产，第8～12年体现为匀速增长(直线模型)，故②③④正确，故选C.
9.答案　A
解析　第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，根据四组数据(8，28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得f(x)的图象先增后减，而f(x)＝bx＋a和f(x)＝＋a都是单调函数，故不符合要求，所以选f(x)＝ax2＋bx＋c.
由第二组数据(9，34)和第四组数据(11，34)，可得f(x)的图象关于直线x＝10对称，故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.故选A.
10.答案　B
11.答案　36.72
解析　当N＝40时，则t＝－144lg ＝－144lg ＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
12.答案　(1)y＝　(2)0.6
解析　(1)从图中可以看出：当t＝0.1时，y＝1，即可求得方程＝1中的a＝0.1，所以y＝.
(2)由题设y≤0.25，则≤0.25，即≤，故2t≥1.2，所以t≥0.6，因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
13.解　(1)A方案：当0当1当4当10综上所述，A方案下，y与x的函数关系式如下：
y＝f(x)＝
B方案：y＝g(x)＝1.6x(0(2)显然当0g(x)；当1g(3)，f(4)故当停车时间不超过3.75 h，选B方案；当停车时间超过3.75 h，但不超过4 h，选A方案．
14.解　(1)由题意可知，符合公司要求的模型要满足：
当x∈[10，1 000]时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；y≤25%x.
对于y＝1.002x，当x>900时，y>6，不满足公司的要求；
对于y＝lg x＋3，当x∈(100，1 000]时，y>lg 100＋3＝5，不满足公司的要求；
对于y＝，其在定义域内单调递增，当x∈[10，1 000]
时，y的最大值为＝5，且y＝≤＝≤＝25%x，满足三个要求．
综上所述，只有奖励模型能完全符合公司的要求．
(2)由(1)知符合要求的函数为，故＝．
当x∈[10，1 000]时，＝单调递减，所以当x＝10时，奖金与利润之比最大，最大值为.