高中数学（人教A版2019）必修第一册第四章 指数函数与对数函数 章末检测卷 作业（含解析）

第四章 章末检测卷 作业
(本卷满分150分；考试用时120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若f(x)＝是奇函数，则g(7)＝(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．5
2．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝在同一平面直角坐标系下的图象大致是(　　)
3．若a＝e0.5，b＝ln 2，c＝log20.2，则有(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
4．若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．05．某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2 000 mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为(　　)
A．2 000(1－0.2x) mg B．2 000×0.8x mg
C．2 000(1－0.2x) mg D．2 000×0.2x mg
6．若函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4] B．(－4，4]
C．[－4，4) D．[－4，4]
7．形如y＝(c>0，b>0)的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故被称为“囧函数”．若函数f(x)＝ax2＋x＋1(a>0且a≠1)有最小值，则当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象的交点个数为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
8．已知关于x的方程x2－(2m－8)x＋m2－16＝0的两个实数根x1，x2满足x1<A．m<4 B．－C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1 D．y＝2x－1
10．已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系有(　　)
A．＋＝1 B．ab＞4
C．a2＋b2＜4 D．(a＋1)2＋(b＋1)2＞16
11．已知函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列所给出的函数中是“M函数”的有(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝2x－1 D．y＝ln (x＋1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数f(x)＝lg x＋x－3的近似零点在区间(k，k＋1)内，k∈Z，则k＝________．
13．某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为________．(注：利润率＝(销售价格－成本)÷成本)
14．已知函数f(x)＝x2－2x＋loga在(1，)内恒小于零，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）求下列各式的值：
(1)3log3＋2log92－log3；
(2)(－1)0＋(2＋)＋().
16．(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若|f(m)|＝4，求实数m的值．
17．(15分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
18．(17分)汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无须司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试．经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
F 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
F(v)＝av3＋bv2＋cv；F(v)＝()v＋a；F(v)＝klogav＋b.
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
19．（17分）新华中学数学兴趣小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图象上却有很大的差异. 通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值；
(2)设为大于或等于1的实数，证明；（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析
1.答案　B
解析　依题意得g(7)＝f(8)＝－f(－8)＝－(log28－1)＝－2.故选B.
2.答案　C
解析　函数f(x)＝1＋log2x的图象可看作是把函数y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到，函数g(x)＝的图象可看作是把函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到，故符合条件的选项为C.
3.答案　A
解析　指数函数y＝ex为增函数，则a＝e0.5>e0＝1；对数函数y＝ln x为增函数，则ln 1b>c.故选A.
4.答案　D
解析　lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得05.答案　B
解析　由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2 000 mg该药物，x个小时后病人血液中这种药物的含量为y＝2 000×(1－20%)x＝2 000×0.8x(mg)，故选B.
6.答案　D
解析　设u＝x2－ax＋3a，则函数f(x)由y＝logu，u＝x2－ax＋3a复合而成，因为y＝logu是减函数，所以u＝x2－ax＋3a在(2，＋∞)上单调递增，从而≤2，解得a≤4.又当x∈(2，＋∞)时，u＝x2－ax＋3a>0，所以当x＝2时，u＝4－2a＋3a≥0，解得a≥－4.所以－4≤a≤4.故选D.
7.答案　C
解析　∵f(x)＝ax2＋x＋1＝a(x＋)2＋，且f(x)有最小值，∴a>1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝与y＝loga|x|的图象，如图所示．
作出函数图象，得出交点个数．由图象知，当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象有4个交点，故选C.
8.答案　D
解析　设f(x)＝x2－(2m－8)x＋m2－16，由题意可得，f()<0，即()2－(2m－8)×＋m2－16<0，即4m2－12m－7<0，解得－9.答案　ABC
解析　因为f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过点A(1，2).对于函数y＝＋2，令x＝1，得y＝2，故A满足题意；对于函数y＝|x－2|＋1，令x＝1，得y＝2.故B满足题意；对于函数y＝log2(2x)＋1，令x＝1，得y＝2，故C满足题意；对于函数y＝2x－1，令x＝1，得y＝1，故D不满足题意．故选ABC.
10.答案　ABD
解析　由3a＝5b＝15，得a＝log315>0，b＝log515＞0.对于A，＋＝＋＝log153＋log155＝log1515＝1，故A正确；对于B，因为＋＝1且a＞0，b＞0，a≠b，所以1＝＋＞2，即ab>4，故B正确；对于C，由＋＝1知a＋b＝ab，而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(ab)2－2ab＝(ab－1)2－1>8，故C错误；对于D，(a＋1)2＋(b＋1)2＝a2＋b2＋2(a＋b)＋2＝(ab)2＋2>18>16，故D正确，故选ABD.
11.答案　BD
解析　依题意得，若b是f(x)的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f(x)的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞)，不是“M函数”；选项B中函数的值域为
(－∞，0)∪(0，＋∞)，是“M函数”；选项C中函数的值域为(0，＋∞)，不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”．故选BD.
12.答案　2
解析　∵f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，∴k＝2.
13.答案　5%
解析　设商品的原价为x元，成本为y元，则0.7x＝(1＋0.47)y，∴x＝2.1y.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.5x＝0.5×2.1y＝1.05y，利润率为－1＝0.05＝5%.
14.答案　[，1)
解析　f(x)＝x2－2x＋loga在(1，)内恒小于零，即(x－1)215.解　(1)原式＝＋(log32－log3)＝＋2＝.
(2)原式＝1＋[()3] ＋(2)－＝1＋＋＝2.
16.解　(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2-x.
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝2-x，所以f(x)＝－2-x.
综上所述，f(x)＝
(2)因为f(x)＝且|f(m)|＝4，显然m≠0，
所以或解得m＝2或m＝－2.
17.解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0，解得x＝1，符合题意．
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·(x＋)，令其等于空，解得x1＝1，x2＝－，由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，解得－1≤a<0或a≤－2，综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0].
18.解　(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0，120]，且在[0，120]上为增函数；
函数F(v)＝()v＋a在[0，120]上是减函数，所以不符合题意；
而函数F(v)＝klogav＋b的v≠0，即定义域不可能为[0，120]，也不符合题意；
所以选择函数F(v)＝av3＋bv2＋cv.
由已知数据得
解得
所以F(v)＝v3－v2＋v(0≤v≤120).
(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：
y＝Ft＝·＝v2－v＋70＝(v－80)2＋30.
因为0≤v≤120，所以，当v＝80时，y有最小值30.
所以这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30 L．
19.解 （1）记函数，首先证明其凹凸性：
,则
所以在为凹函数.
由琴生不等式，得，
即
所以，当时，W的最小值为.
（2）设,因为故，
要证，只需证.
由琴生不等式，只需证在为凹函数.
设，
下证≥，即证，
即证,
化简得.
即证，
式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证.
（3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故{m丨}．