2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】C
二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABC
11.
【答案】BC
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12
【答案】
13.
【答案】2
14.
【答案】①③④
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）先由题意求出，再结合向量坐标形式的加法运算和模长公式即可计算求解；
（2）由向量垂直的表示结合，即可计算求解.
【小问1详解】
由题得，，
所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又，，
所以，解得.
16.
【解析】
【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；
（2）直接由平行线间距离公式即可求解；
（3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
直线的斜率为，
所以过点且与直线平行的直线方程为，
即．
【小问2详解】
因为，所以两直线间的距离为．
【小问3详解】
设直线方程为，．
当时，；当时，．
则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为6．
17.
【解析】
【分析】（1）过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线，借助垂直得到斜率，再用点斜式即可；
（2）直线与圆的方程联立，借助韦达定理得到，.再由转化为向量数量积，综合韦达定理构造方程计算即可.
【小问1详解】
过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线，
圆的圆心，则，
所以过点的最短弦所在的直线方程为，即．
【小问2详解】
消去得，
化简后为．
因为圆与直线交于，两点，
所以，
即，解得．
设，，则，．
因为，所以，即．
由得．
从而，解得．
18.
【小问1详解】
取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，且，
为直三棱柱，为中点，
，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
连接，，，
，
为直角三角形，
为直三棱柱，
易得，，
为中点，
，；
【小问3详解】
易知平面，，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，
则，，，，，
设平面一个法向量为，则，
取，易得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则.
19.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解出即可得；
（2）借助弦长公式计算可得或，再利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离后结合面积公式计算即可得；
（3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出并计算即可得.
【小问1详解】
根据题意得到，解得，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
因为，解得或，
当时，直线的方程经过点，不符合题意，舍去；
当时，，
点到直线的距离，
故的面积；
小问3详解】
设，，直线的方程为，
联立方程，得，
由，得，
则，，
因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以，
故为定值.2024学年第一学期嘉兴八校联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（）
A. B. C. D.
2. 已知直线：与：，若，则为（）
A. B. 0 C. D.
3. 已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则为（）
A. 1 B. 4 C. 6 D. 7
4. 已知，分别是平面，的法向量，且，则的值为（）
A. 1 B. 2 C. D.
5. 经过点作圆的切线，则切线方程为（）
A. B. C. D.
6. 如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（）
A. B.
C. D.
7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数取值范围（）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与椭圆相交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分．
9. 已知直线：，则下列说法正确的是（）
A. 点到直线的距离为
B. 直线的截距式方程为
C. 直线的一个方向向量为
D. 若直线与圆相切，则
10. 如图，直三棱柱中，，，，分别为棱和中点，为棱上的动点，则下列说法正确的是（）
A.
B. 该三棱柱的体积为4
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为
11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（）
A. 方程无解 B. 方程有两个解
C. 的最小值为 D. 的最大值为
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线的倾斜角为______．
13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，若，则_________．
14. 在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论：
①线段长度的最大值为；
②存在点，使得；
③存在点，使得；
④是等腰三角形.
其中，所有正确结论的序号是________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间三点，，，设，.
（1）求值；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
16. 已知直线：，经过点．
（1）若，求直线的方程；
（2）在（1）的条件下，求与之间的距离；
（3）若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值．
17. 已知点，圆：．
（1）求圆过点的最短弦所在的直线方程；
（2）若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值．
18. 如图，直三棱柱中，，中点，是中点．
（1）证明：直线平面；
（2）证明：直线；
（3）求平面与平面所成角余弦值．
19. 已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆的上顶点，求的面积；
（3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
