垂径定理（1）

课题：24.1.2垂直于弦的直径(1)
教学目标：
1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
教学重点：垂直于弦的直径的性质及证明.
教学难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
教学过程：
一、情境创设
1、 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、 如图24-2-1，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于E
(1) 它是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？为什么？
是。对称轴是直线CD。
理由：连结OA、OB
∵OA=OB,OE⊥AB ∴AE=BE
∴CD既是△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。
(2) 图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
∵把圆沿直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合
∴AE与BE重合，弧AD与BD重合，弧AC与BC重合。
二、新课讲授：
归纳：结合图形，用符号语言表示
⊙O中，CD为直径
（ 知2推3）
CD⊥AB于E
用文字语言表示：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的条件有两个，结论有三个，共五个事项。
三、例题讲解：
例1．（1）如图24-2-2，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，
直径CD⊥AB于E，OE=3 cm，求⊙O的半径。
解：连结OA
∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm
Rt△AOE中,∠AEO=900 ， ∴OA2=AE2+OE2
又OE=3 cm, ∴OA2=25 ∵OA>0， ∴OA=5 cm
（2）如图24-2-3，在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径OD⊥AB于E，
DE=2 cm，求⊙O的半径。
解：连结OA
∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm
Rt△AOE中,∠AEO=900 ， ∴OA2=AE2+OE2
设OA=x cm,则OD= x cm, ∴OE= (x-2) cm
∴x2=(x-2)2+16 解得x=5 ∴OA=5 cm
点拨：在半径，弦的计算问题中，结合应用垂径定理和勾股定理，就可以转化成直角三角形的问题。于是可得公式R2=()2+d2 (其中R表示半径，d表示弦心距即OE，a表示弦长)。这三个量中，已知其中的两个，可计算得第三个，必要时应用方程思想列出方程。
例2、如图24-2-4，⊙O的直径AB=16 cm，P是OB的中点，∠APC=300，求CD的长。
解：过OE⊥CD于E,连结OC
∵P是OB的中点 ∴OP=OB
∵OB=AB=8 cm，∴OP=4 cm.
在Rt△POE中,∠PEO=900 , ∠APC=300，
∴OE=OP=2 cm
∵OE⊥CD ∴∠CEO=900 ,
∴ cm
∵OE⊥CD ∴CD=2CE= cm
点拨：过圆心作弦的垂线段（即弦心距）是常用的辅助线。
例3．已知AB、CD是⊙O 的两条平行弦，⊙O的半径是5 cm ，AB=8 cm， CD=6 cm ，求AB、CD间的距离。
点拨：由于题目中的弦AB、CD只是平行，没有说明这两条弦与圆心的位置关系，因此需要对两弦的位置进行讨论，分成两弦在圆心的同侧和异侧两种情况。
解：过O作OF⊥CD于F，OF（或其反向延长线）交AB于E,连结OA,OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB
当AB,CD在圆心O的同侧时，如图24-2-5所示，
∵OF⊥CD ∴OC=5 cm,CF=3 cm,
在Rt△OCF中，=4 cm.
∵OE⊥AB ∴OA=5 cm,AE=4 cm,
在Rt△OAE中，=3 cm.
∴EF=OF－OE=4－3=1 cm
当AB,CD在圆心O的异侧时，如图24-2-6所示，
同理EF=OF+OE=4+3=7 cm
综上所述AB、CD间的距离是1 cm或7 cm。
例4 .如图24-2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=900 ,AC=,BC=1,以点C为圆心，CB的长为半径画圆交AB于点D，求AD的长。
点拨：本题易求斜边AB的长，要求AD的长，即要求DB的长。于是联系在圆中，即要应用垂径定理，要已知半径和弦心距。
解：过点C作CE⊥DB 于E，则DE=EB。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=900 ,AC=,BC=1,
∴AB=。
设DE=EB=x,在Rt△ACE和 Rt△BCE中，AC2－AE2=CE2=BC2－BE2，
∴ ∴ ∴AD=AB－2DE=
四、课堂反馈：
1、判断图24-2-8中能应用垂径定理的有（ B ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
点拨：注意定理应用的条件有两个：直径和直径垂直于弦，有时图形不画全，但只要满足相互垂直的线段中有一条过圆心即可。
2、如图24-2-9，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
则下列结论中不一定成立的是（ C ）
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE
C.OE=BE D.BD=BC
3、如图24-2-9，在⊙O中，半径为13 cm，直径AB⊥弦CD于E，OE=5 cm，
则CD= 24 cm.
点拨：利用垂径定理的基本图形进行计算时要注意用勾股定理求得的CE长是弦
CD的一半。
4、(2009恩施)如图24-2-9，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，且E是半径OB的中点，CD=6 cm，则直径AB的长是（ D ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
5、在直径为52 cm的圆柱形油桶中装入一些油后，如果油面宽度AB
的长为48 cm ，求油的深度。
点拨：AB的长相当于弦长。因为不清楚有油部分所含的弧是优弧还
是劣弧，所以分两种情况讨论。
解：过O作OD⊥AB于E,交⊙O于D,连结OA，则油的最大深度是
DE的长。
（1）如图24-2-10，若有油部分所含的是劣弧AB，
∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=24 cm
Rt△AOE中,∠AEO=900 ， ∴OA2=AE2+OE2
∴=10cm. ∴DE=OD-OE=16 cm
(2) 如图24-2-11，若有油部分所含的是优弧AB，同理可求OE=10 cm.
∴DE=OD+OE=36 cm
综上所述油的最大深度是16 cm或36 cm。
五、课堂小结：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
六、课后作业
C
O
E
D
B
A
图24-2-1
C
O
E
D
B
A
图24-2-2
O
E
D
B
A
图24-2-3
A
C
O
D
B
E
P
图24-2-4
O
E
C
B
A
D
F
图24-2-5
O
E
C
A
D
F
B
图24-2-6
A
D
E
B
C
图24-2-7
C
C
O
E
B
A
O
E
D
B
A
O
E
D
B
A
C
O
D
B
A
图24-2-8
A
O
E
B
D
C
图24-2-9
O
E
D
B
A
图24-2-10
O
E
D
B
A
图24-2-11