函数单调性作业
考点一．函数的单调性
1．下列四个函数中，在上为增函数的是
A． B． C． D．
考点二．定义法求解函数的单调性
2．下列函数在区间上为增函数的是
A． B． C． D．
3．已知函数．
（1）证明：函数在区间单调递减；
（2）当，时，求函数的值域．
4．已知函数．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由；
（2）试判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）求在上的值域．
5．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明：
（3）求不等式的解集．
6．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
考点三．由函数的单调性求解函数或参数
7．下列四个函数中，在上为增函数的是
A． B． C． D．
8．已知函数，若在区间上恒负，且是减函数，则区间可以是
A． B． C． D．
9．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．或
11．已知是定义在上的减函数，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
12．设函数，是上的减函数，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．
13．对于函数
（Ⅰ）探索函数的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数，使函数为奇函数？
14．已知函数．
（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间，上单调递减；
（2）若，求实数的取值范围．
15．已知函数的图像过点．
（1）求实数的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明．
16．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
（1）确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
（2）解不等式．
17．已知函数．
（1）求的解析式；
（2）若，，，，，求的取值范围．函数单调性参考答案
函数的单调性
1．下列四个函数中，在上为增函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是一次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，，是二次函数，在上为增函数，符合题意；
对于，，在上为减函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，在上不是单调函数，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
定义法求解函数的单调性
2．下列函数在区间上为增函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是一次函数，在上单调递减，故错误；
对于，，是二次函数，在上单调递减，故错误；
对于，，是幂函数，在上单调递增，故正确；
对于，，是反比例函数，在上单调递减，故错误．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
3．已知函数．
（1）证明：函数在区间单调递减；
（2）当，时，求函数的值域．
【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；
（2）由（1）可得函数的值域．
【解答】（1）证明：，
在上任取，，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以可证得函数在区间单调递减；
（2）解：由（1）可得，时，（5），（3），
而（5），（3），
所以函数的值域为，．
【点评】本题考查定义法证明函数的单调性及函数的值域的求法，属于基础题．
4．已知函数．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由；
（2）试判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）求在上的值域．
【分析】（1）利用奇偶函数定义判断即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）利用单调性确定值域．
【解答】解：（1）是偶函数．
，定义域为．
，是偶函数．
（2）在上单调递增．证明如下．
任取，则，
，，则，
，
则，故在上单调递增．
（3）由（2）得在上单调递增，
，（1），
在上的值域为．
【点评】本题考查指数函数性质，属于中档题．
5．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明：
（3）求不等式的解集．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，
（2）结合指数函数的性质可得的单调性，
（3）根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数为奇函数，函数的定义域为，
则，
解可得，经检验，符合题意；
（2）在上为增函数．
证明：令，则，
故，
所以，即在上为增函数．
（3）根据题意，，则，
不等式，
由（2）在上为增函数，可得，
解得，即原不等式的解集为．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
6．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由奇函数的性质，可得，再求出的值即可；
（2）令，作差法判断，大小即可；
（3）问题化为时，恒成立，由指数、分式性质求的值域，再求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，可得，
则，所以．
（2）单调递增，证明如下：
由（1）知，，
令，则
，而，，，
所以，故单调递增．
（3）由题意可知，当时，恒成立，
而，所以，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．
由函数的单调性求解函数或参数
7．下列四个函数中，在上为增函数的是
A． B． C． D．
【分析】根据基本函数的解析式直接判断单调性即可．
【解答】解：对于，是单调递减函数，故不正确；
对于，，在上单调递减，在上单调递增，故正确；
对于，当时，，函数单调递减，故不正确；
对于，，由向右平移1个单位变换得到，
所以在区间和上单调递增，故不正确．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
8．已知函数，若在区间上恒负，且是减函数，则区间可以是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析函数中函数恒负，且是减函数的区间，由此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
当时，，为减函数，若，则有，
即在区间上，恒负，且是减函数，
当时，，
在区间上，满足恒负，且是减函数，
若在区间上恒负，且是减函数，则是或的子集，
分析选项：符合．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及函数的值域，属于基础题．
9．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：因为函数在定义域上是增函数，且，
则有，则，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．或
【分析】根据题意，分析函数和的单调性和交点，结合函数单调性的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，是开口向上的二次函数，在区间，上递增，在，上递减，
是一次函数，在上是增函数，
联立，解可得，，即两个函数的交点为和，
函数在上单调递增，必有．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
11．已知是定义在上的减函数，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，是定义在上的减函数，
则有，解可得，即的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
12．设函数，是上的减函数，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得关于的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是上的减函数，
则有，解可得，即的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的性质，属于基础题．
13．对于函数
（Ⅰ）探索函数的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数，使函数为奇函数？
【分析】（Ⅰ）用指数函数、反比例函数的单调性可作出判断；
（Ⅱ）先设为奇函数，然后根据奇函数性质可得，由此求得值．
【解答】解：（Ⅰ）单调递增，
单调递减，单调递增，
单调递增；
（Ⅱ）若是奇函数，则，
，即，
，
故存在实数使为奇函数．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题．
14．已知函数．
（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间，上单调递减；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性；
（2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）证明：根据题意，任取，
则，
因为，则，，，
则，故在，上单调递减．
（2）由（1）得，在，上单调递减，
若，
则有，解得，
所以，即所求范围是，．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及函数单调性的证明，属于基础题．
15．已知函数的图像过点．
（1）求实数的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明．
【分析】（1）将点代入函数解析式，求解的值即可；
（2）判断函数在区间上单调递增，利用定义证明即可．
【解答】解：（1）将点代入函数中，可得，解得．
（2）函数在区间上单调递增，证明如下．
由（1）可得，
任取，则
，因为，
则，，，即，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断与证明，考查运算求解能力，属于基础题．
16．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
（1）确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
（2）解不等式．
【分析】（1）利用，可求，，得到函数的解析式，再利用函数的单调性证明即可；
（2）利用函数的单调性求解．
【解答】解：（1）由题意可知，即，
解得，
所以，经检验满足奇函数，
设，
则，
，
，且，则，
，即，
函数在上是增函数；
（2），，
又是定义在上的增函数，
，解得，
解集为．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，考查了函数单调性的定义，属于基础题．
17．已知函数．
（1）求的解析式；
（2）若，，，，，求的取值范围．
【分析】（1）令，利用换元法求解析式；
（2）先判断函数的单调性，从而把恒成立问题转化为，，，然后利用一次函数性质得不等式组，即可得解．
【解答】解：（1）令，则，
则，
所以．
（2）因为在，上单调递增，
所以（1）．
，，，，，即，，，
则
解得．
故的取值范围是．
【点评】本题考查函数的单调性及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
