24.1.2垂直于弦的直径(2)

课题：24.1.2垂直于弦的直径(2)
教学目标：进一步探索垂径定理，理解垂径定理的推论。
教学重点：垂径定理推论的证明及应用。
教学难点：垂径定理推论的证明。
教学过程：
一、情境创设：
垂径定理：
⊙O中，① CD为直径 ③
④ （ 知2推3）
② CD⊥AB于E ⑤
用文字语言表示：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
二、新课教授：
1. 现把条件和结论中的一个事项互换，得一个新命题：
⊙O中， ①CD为直径 ②CD⊥AB
④
③AE=BE ⑤
如图24-3-1，这是真命题还是假命题？如是真命题，请说明理由。
这是真命题。在△OAB中，OA=OB,AE=BE, ∴OE⊥AB
∵直径CD⊥AB, ∴ ,
利用垂径定理证明了新命题。
用语言归纳：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
这种归纳正确吗？经讨论发现这是假命题。反例：当弦也是直径时，两弦不一定互相垂直。
因此正确的结论是：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
这是垂径定理的一个逆命题，称为垂径定理的推论。
2、判断以下垂径定理的逆命题是真命题吗？若是，请说明理由并用语言归纳；若不是，举出反例。
（1） ⊙O中，②CD⊥AB ①CD为直径
④
③AE=BE ⑤
解：真命题。
以下证明：连结OA、OB
∵OA=OB ∴点O在线段AB 的垂直平分线上。
又CD垂直平分AB ∴点O在CD上，即CD是⊙O的直径。
∵直径CD⊥AB, ∴,
用语言归纳为：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。这也是垂径定理的一个推论。
（2） ⊙O中，①CD为直径 ③ AE=BE
② CD⊥AB
④ ⑤
解：真命题。用对称性说明（略）。
用语言归纳为：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧。
点拨：垂径定理的逆命题较多。一条直线在五个事项：①过圆心 ②垂直于弦③平分弦 ④平分弦所对的一条弧 ⑤平分弦所对的另一条弧，若满足其中的两个，则有其他三个作为结论。但要注意①、③作为条件时，弦不能是直径。
三、例题讲解：
例1．1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m。你能求出主桥拱的半径吗？（结果精确到0.1）
点拨：画出草图构建数学模型，AB=37.4m，CD=7.2m.探究后可知CD必过圆心。为方便推理，可作OC⊥AB于D。
解：如图24-3-2，表示桥拱，圆心为O，作半径OC⊥AB于D,
∴ D为AB的中点，。
∴AD=18.7m,CD=7.2m
设AO=R,则OD=(R-7.2)m
在△AOD中，∠ADO=900, ∴ R2=(R-7.2)2+18.72 解得R=27.9m
答：主桥拱的半径约为27.9m。
例2．我市濠河上有一座圆弧形拱桥，桥下面的水面宽度是7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的游船要经过该桥，问：此游船是否能顺利通过这座桥？
点拨：正确地画出示意图是解决此题的关键。设AB表示桥拱，EF表示船的宽度，当船从桥拱的正中央通过时，船舱两边缘的上顶端只有在点N(或M)的下方时，船才能通过，这就需要比较NF的长与2m的大小。
解：如图24-3-4，设表示桥拱，则AB=7.2m,EF=3m,ME⊥AB于E,NF⊥AB于F。设桥拱所在圆的圆心为O，半径为r,作OD⊥AB于D，并延长交MN于H，交于C，则CD=2.4m。
∵船位于桥下正中央，∴OD=OC-CD=r-2.4
在Rt△ODA中，∠ADO=900, ∴OA2=AD2+OD2 r 2=( r-2.4)2+3.62
解得r =3.9m ∴OA=3.9m
连结ON, 在Rt△ONH中，
∴FN=DH=OH-OD=OH-(OC-CD)=2.1m
∵2<2.1 ∴通过计算，可知游船可以通过桥梁，但因船舱两边缘的上顶端离桥拱仅有0.1m，而且通过时要保证从正中央航行是较困难的，故通过时必须十分小心。
例3．如图24-3-3，在⊙O中,直径AB过弦EF的中点P, AP=3cm ,BP=4cm,(1)求EF的长 (2)求AF的长。
解：（1）∵AP=3cm,BP=4cm, ∴AB=7cm OA=OB=3.5cm
∴OP=OA-AP=0.5cm
∵在⊙O中，直径AB过弦EF的中点P, ∴EF⊥AB
在Rt△EOP中，∠EPO=900, ∴EP2=EO2-OP2
解得EP=cm ∴EF=cm
(2) 在Rt△APF中，∠APF=900, ∴AF2=AP2+PF2
解得AF=cm
例4．如图，⊙O中，M、N分别是不平行的两条弦AB、CD的中点，
且AB=CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
四、课堂反馈：
1、下列命题中，正确的是（ C ）
A. 过弦的中点的直径平分弦所对的弧
B.过弦的中点的直线必过圆心
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
D.弦的垂线平分弦所对的弧
2、如图24-3-5，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径是 2.5 m.
3、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接测量的方法，如果用一个直径为10mm的标准钢球放在小孔上，测得钢球顶端与小孔平面的距离h=8mm（如图24-3-6所示），求此小孔的直径d.
点拨：此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB，可根据垂径定理构造直角三角形求解。
解：过点O作MN⊥AB,交⊙O于M，N,垂足为C.
则OA=5mm, OC=MC-OM=3mm.
在Rt△OAC中， ∴AB=2AC=8mm.
∴此小孔的直径d为8mm.
4、如图24-3-7，⊙O的弦CD与直径AB成300的角，CD把AB分成1cm和5cm两部分，OM⊥CD,求OM和CD的长。
解：连结OD
由题意得，AE=1cm,BE=5cm, ∠DEO=300
∴AB=6cm OA=3cm=OD ∴OE=OA-AE=2cm
在Rt△OEM中, ∠EMO=900,∠DEO=300.
∴
在Rt△ODM中, ∠DMO=900,
∴
∵OM⊥CD ∴CD=2DM=.
五、课堂小结：
1.垂径定理的推论，“知2推3”.
2.特殊的：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。
六、布置作业
C
O
E
D
B
A
图24-3-1
C
O
E
D
B
A
图24-3-1
B
O
P
A
F
E
图24-3-3
A
B
C
D
M
N
O