第十三章轴对称证明题专题训练--2024-2025学年人教版八年级上册数学期末提升专题训（含解析）

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第十三章 轴对称证明题专题训练--2024-2025学年人教版八年级上册数学期末提升专题训
1．如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
2．如图，中，，为边上一点，过点作交的延长线于点，连结，若，
(1)请用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)求证：是的中点．
3．已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证：
(1)；
(2)
4．已知点D在上，点E在上，，
(1)如图①，求证：
(2)如图②，若交于点P，连接，求证：
5．如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数．
6．如图，为等边三角形，于点，交于点．
(1)求证：是等边三角形．
(2)判断与的数量关系，并说明理由．
7．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
8．如图，于点，于点，与交于，且，，．
(1)求证：点在的平分线上．
(2)求的长．
9．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证：
(1)；
(2)．
10．如图，在中，已知是的中点．

(1)求和的大小；
(2)若为上一点，且，试证明：．
11．如图，在中，，，于点，点在上且，
(1)若的周长是，求线段的长；
(2)求的度数．
12．如图，点E，F在上，，，．

(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
13．如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交，于，两点，连接并延长交于点
(1)求证：；
(2)若，求 的度数．
14．定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．

(1)求五边形每一个内角的度数；
(2)求证：；
(3)连接，求证：垂直平分．
15．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G．
(1)求证：垂直平分；
(2)在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由．
16．如图1，在等边中，，分别是边，上一点，且，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，当时，求证：．
17．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且．
(1)求的度数；
(2)若于点M，求证：M是的中点；
(3)若，求的长．
18．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．求证：
(1)；
(2)为等边三角形．
19．如图，在中，，，D是边上一点（不与A，B重合），以为边作等腰，，且，与交于点F，连接BE．
(1)求证：；
(2)当时，证明是等腰三角形．
20．如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接，

(1)画出关于直线成轴对称的；
(2)若，求的度数；
(3)求证：．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）证明：，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是的中点，
是边的中线，
是等边三角形，
．
2．(1)；证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质．
（1）过点作于点，由等腰三角形三线合一性质可得，再由平行线性质可得，进而证明结论；
（2）先证明，得，进而证明，由此得出．
【详解】（1）猜想：．
证明：过点作于点，交于点
，，
，
，
，
，
．
（2）证明：在和中，
，
，
在和中
，
是的中点．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等；
（2）通过全等的性质得到，证得，再根据，得到，进而得
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
（2）解：由（1）知：，
，
，
，
，
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）根据等角对等边，得到，由，得到，即可解答．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练应用全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、三角形的外角定理，熟练掌握是解题的关键．
（1）判定为等边三角形，得到，，结合即可判定；
（2）根据全等三角形的性质得，根据三角形的外角定理进行转化即可得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形
∴，
在和中，
，
∴．

（2）解：∵，
∴
∴．
6．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三线合一，理解等边三角形的性质是解答关键．
（1）根据等边三角形的性质易得，利用平行线的性质得到，即可求解；
（2）由等边三角形的性质得到，再结合得到，再结合等边三角形的性质求解．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
∴．
，
∴，．
是等边三角形．
（2）解：．
理由如下：
为等边三角形，
．
于点，
．
是等边三角形，
∴．
．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可．
（2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可．
【详解】（1），
和均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2），
，，
，
，
，
，
在中，，
．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明得，由角平分线的判定即可得证；
（2）根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”即可得出结论；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上；
（2）解：由（1）知：点在的平分线上，
即平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴的长为．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键．
（1）利用“”证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质和判定可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质定理．
（1）首先根据等腰三角形的性质求出和，然后根据三线合一的性质求出；
（2）由等腰三角形的性质可得，结合可得，根据平行线的判定解答即可．
【详解】（1）解：，
又是的中点，
．
（2）由（1）得，
，
，
，
．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．
（1）根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案；
（2）根据等腰三角形两底角相等及三线合一得到，，结合即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明，得出，根据平行线的判定得出答案即可；
（2）设，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质证明，得出，根据三角形内角和定理得出，求出x的值即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴．
∴．
∴．
（2）解：设．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
在中，有．
解得．
∴．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质是解本题的关键，综合性较强，在解得题目过程中，巧妙设方程求值，也是种不错的解题方法．
（1），且垂直平分，易得，，由， ，根据等腰三角形三线合一可得，进而可证：；
（2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴．
∴．
∵，于点，
∴．
∴．
（2）设，则，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，有．
解得．
∴．
14．(1)均为
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正多边形内角和公式可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质和判定可得；
（3）根据，证明，由，得，最后利用线段垂直平分线的逆定理可得结论．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）证明：，
，
同理得：，
，
，
，
；
（3）证明：连接，，
，，，
∴，
，
，
，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
15．(1)见解析
(2)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可；
（2）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质求出，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴点B、D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）解：为等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得得，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长到F，使，连接、，证，得，，则，得出，进而可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴，
∴；
（3）如图2，延长到F，使，连接，
由（1）知：，
∴是等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
，
，
，
，
，
．
17．(1)∠E的度数为
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）等边三角形的性质，求出，等边对等角，三角形的外角的性质，求出的度数即可；
（2）连接，三线合一，推出，进而得到，再根据三线合一，即可得证；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，进而求出的长即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：连接，
∵是等边三角形，D是的中点，
∴平分，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴M是的中点；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是∶
（1）根据证明即可；
（2）根据等边对等角、三角形内角和定理可求出，根据全等三角形的性质可得出，，根据等边对等角和对顶角的性质可得出，根据三角形内角和定理可求出，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明∶∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
同理，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．(1)见解析
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）利用等边对等角求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，然后利用轴对称的性质即可求解；
（3）连接，设，则，求得，证明，据此即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵与关于直线成轴对称，
∴，
∴；
（3）证明：连接，

∵与关于直线成轴对称，，
∴，，，，
∴在同一直线上，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
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