2.3.3 点到直线的距离公式+2.3.4 两条平行直线间的距离 课后训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
A级——基础过关练
1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)
A． B．－
C．－ D．或－
3．若直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)
A．3x－4y＋5＝0 B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0 D．x＝1或3x－4y＋5＝0
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　)
A．[－11，－1] B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
5．已知正方形的两边所在直线的方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，则正方形的面积为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)
A．3 B．－17
C．－3 D．17
7．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________________．
8．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
9．在△ABC中，A(1，0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．
10．已知△ABC三边所在直线方程lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)当BC边上的高为1时，求m的值．
B级——综合运用练
11．(多选)两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程可能为(　　)
A．7x－4y＋9＝0
B．x－2y－1＝0
C．8x＋14y＋1＝0
D．2x＋y＋1＝0
12．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax＋y＝1，且l1⊥l2，则l1的倾斜角为________，原点到l2的距离为________．
13．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
(1)求d的变化范围；
(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．
C级——创新拓展练
14．已知10条直线，
l1：x－y＋c1＝0，c1＝，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…，
l10：x－y＋c10＝0，其中c1＜c2＜…＜c10．
这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2，3，4，…，10．求：
(1)c10；
(2)直线x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．
答案解析
1、【答案】A
【解析】6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得＝．
2、【答案】D
【解析】由＝1，解得m＝或m＝－．
3、【答案】D
【解析】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0．因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝．所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0．综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0．
4、【答案】C
【解析】y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得＝≤，且k＋2≠－4，即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1且k≠－6．
5、【答案】B
【解析】由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离，即边长d＝＝，所以正方形的面积为2．故选B．
6、【答案】AB
【解析】由题意得n≠0，－＝，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0．由两条平行直线间的距离公式，得＝2，解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17．
7、【答案】或
【解析】设P(－3y，y)，则＝，解得y＝±．当y＝时，x＝－，所以P；当y＝－时，x＝，所以P．
8、【答案】3
【解析】由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2．在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得l1与l2的距离为＝，整理得＝，解得a＝3或a＝－4．因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3．
9、【答案】
【解析】|AB|＝＝，直线AB的方程为x＋＝1，即2x－y－2＝0．设C(a，a2)，则点C到直线AB的距离d＝，所以S△ABC＝|AB|·d＝|a2－2a＋2|＝[(a－1)2＋1]≥．所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为．
10、解：(1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，
所以kAB·kAC＝－1．
所以直线AB与AC互相垂直，故△ABC为直角三角形．
(2)解方程组得即A(2，6)．
由点到直线的距离公式得d＝＝，
当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，
解得m＝25或m＝35．
11、【答案】AC
【解析】设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即＝，整理得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0或8x＋14y＋1＝0．故选AC．
12、【答案】120°　
【解析】因为l1：x＋y－1＝0，所以k1＝－．又因为倾斜角的范围是[0，π)，所以α＝120°．因为l1⊥l2，所以k2＝＝－a．所以l2：x－3y＋3＝0．所以原点到l2的距离d＝＝．
13、解：(1)方法一，①当两条直线的斜率都不存在时，两直线分别为x＝6和x＝－3，此时d＝9．
②当两条直线的斜率都存在时，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，
则即
而d＝＝，
两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0．
由于k∈R，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)·(9－d2)≥0，
整理得4d2(d2－90)≤0，所以0＜d≤3．
综上所述，d的变化范围为(0，3]．
方法二，结合图形可知，当两条平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两条直线都过A，B点时，距离d＝0最小，但平行线不能重合，
所以0＜d≤3．
综上所述，d的变化范围为(0，3]．
(2)当d＝3时，因为kAB＝＝，kAB·k＝－1，所以k＝－3．
故两条直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．
14、解：(1)直线l1与l2间的距离d1＝2，
直线l1与l3间的距离d2＝2＋3，
直线l1与l4间的距离d3＝2＋3＋4，
…，
直线l1与l10间的距离d9＝2＋3＋…＋10＝54．
因为d9＝，所以c10＝55．
(2)由(1)知直线l10的方程为x－y＋55＝0，
其与x轴交于点M(－55，0)，与y轴交于点N(0，55)，
则S△OMN＝|OM|×|ON|＝×(55)2＝3 025．