3.1.2 椭圆的简单几何性质（三）学案（无答案）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的几何性质（三）
班级—————— 姓名——————
一、学习目标
1.了解并能判断椭圆与点、直线的位置关系；
2.能解决椭圆弦长，面积等综合性问题。
二、问题与例题
思考：你能类比圆与点、直线的位置关系来判断椭圆与点、直线的位置关系呢？
知识点一 . 椭圆与点的位置关系：
对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+<1;
点在椭圆上+=1.
知识点二 . 椭圆与直线的位置关系：
利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
<0直线与椭圆相离无公共点.
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
>0直线与椭圆相交有两个公共点;
弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
【题型1 椭圆与点的位置关系】
【例1】若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
B． C． D．
【变式1-1】已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】点与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定
【题型2 椭圆与直线的位置关系】
【例2】当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件：
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点
【变式2-1】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【变式2-2】直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
B． C． D．
【变式2-3】已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【题型3 中点弦问题】
【例3】在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
B． C． D．
【变式3-1】已知椭圆C：，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 ．
【变式3-2】已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【题型4 椭圆的弦长】
【例4】已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
B． C． D．
【变式4-1】已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ）
±1 B．± C． D．±
【变式4-2】斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
【题型5 与椭圆有关的面积问题】
【例5】已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
求椭圆的标准方程；(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【变式5-1】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；(2)若直线的倾斜角为，求的面积．
【题型6 椭圆的综合问题】
【例6】已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
【变式6-1】已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点．
(1)证明；(2)求的最大值．
目标检测
1.已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.（，- ） B.（- ） C.（，- ） D.（- ，）
3.已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．
(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．
5.已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.