3.1.2 椭圆的简单几何性质（一）学案（无答案）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的几何性质（一）
班级—————— 姓名——————
一、学习目标
1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；
2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响，掌握椭圆标准方程中，b，c，e之间的相互关系。
二、问题与例题
思考：与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
知识点一 . 椭圆的几何性质：a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，且有关系式a2＝b2＋c2
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0，1)
2.离心率的作用
椭圆离心率e与a，b的关系：e＝。因为a>c>0，所以0【题型1 椭圆的几何性质】
【例1】求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图：(1)； (2).
【变式1-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【题型2 椭圆的离心率】
【例2】下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率 .
【变式2-2】设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D．
【变式2-3】椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
目标检测
1.椭圆＋＝1的长轴长为(　　)A.2 B.4 C.3 D.6
2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)A. B. C. D.
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1
4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是(　　)A. B. C. D.
5.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________.