3.3.3 抛物线的方程及性质的应用 课后训练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.3　抛物线的方程及性质的应用
A级——基础过关练
1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A． B．
C． D．
5．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　)
A． B．1
C． D．2
6．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是(　　)
A．x＝－3 B．y＝2
C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0
7．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．
8．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________________．
9．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
10．已知抛物线y2＝2px(1＜p＜3)的焦点为F，抛物线上的点M(x0，1)到准线的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求的值．
B级——综合运用练
11．(多选)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，则下列说法正确的有(　　)
A．当k∈(－1，1)时，直线l与抛物线C有两个交点
B．当k＝0时，直线l与抛物线C有一个交点
C．当k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点
D．当k＞1或k＜－1时，直线l与抛物线C无交点
12．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0，4)，则抛物线C的方程是________；若直线l过点F，则k＝________．
13．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9．
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
C级——创新拓展练
14．设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)求证：∠ABM＝∠ABN．
答案解析
1、【答案】B
【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．
2、【答案】D
【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0．
3、【答案】C
【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，点P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3．
4、【答案】D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①．因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②．由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝．
5、【答案】B
【解析】如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|．所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b．由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab．又因为ab≤，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|．所以≥1，即的最小值为1．
6、【答案】BCD
【解析】显然，直线的斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由得ky2－4y＋8＋12k＝0①．当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．当k≠0时，方程①应有两个相等实数根，由即解得k＝或k＝－1，所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．故选BCD．
7、【答案】(3，2)或(3，－2)
【解析】设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3．把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2．∴点P的坐标为(3，±2)．
8、【答案】∪
【解析】设M(x1，x)，N(x2，x)，两点关于直线y＝kx＋对称，显然k＝0时不成立，所以＝－，即x1＋x2＝－．设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×＋＝4．又因为中点P在抛物线y＝x2内，所以4＞，即k2＞，所以k＞或k＜－．
9、【答案】2
【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1．因为∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)·(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，整理可解得k＝2．
10、解：(1)由题意知消去x0得2p2－5p＋2＝0，且1＜p＜3，解得p＝2，
所以x0＝，所以抛物线的标准方程为y2＝4x．
(2)因为F(1，0)，M，
所以kMF＝－，直线MF的方程为4x＋3y－4＝0．
联立方程得方程组消去x，得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或y＝1，将y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，则|MF|＝＋1＝，|NF|＝4＋1＝5，
所以＝＝．
11、【答案】BCD
【解析】由方程组消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．①若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ＞0，即k2≠0，且16(1－k2)＞0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)，所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点，故A错误．②若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或k2≠0且Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，所以当k＝0或k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点，故B，C正确．③若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ＜0，解得k＞1或k＜－1，所以当k＞1或k＜－1时，直线l与抛物线C无交点，故D正确．故选BCD．
12、【答案】x2＝4y　±
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，则|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝6，即y1＋y2＝6－p．因为点M(0，4)在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则x＋(y1－4)2＝x＋(y2－4)2．因为x＝2py1，x＝2py2，所以(y1－y2)(y1＋y2＋2p－8)＝0．因为y1≠y2，所以y1＋y2＝8－2p，则8－2p＝6－p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y．因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx＋1，联立整理得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，从而y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2．因为y1＋y2＝6－p＝4，所以4k2＋2＝4，解得k＝±．
13、解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝．
由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x．
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设C(x3，y3)，
则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又因为y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．
14、(1)解：当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，
可得点M的坐标为(2，2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知x1＞0，x2＞0．
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4．
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝．①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0．
所以kBM＋kBN＝0，可知直线BM，BN的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN．
综上，∠ABM＝∠ABN．