北京市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

2024北京高三（上）期中
数学
一、单选题
1.已知复数的共轭为，若，则的实部为（ ）
A.1 B.-1 C. D.i
2.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，，，则（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.无解
4.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A. B.2 C. D.
6.已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）
A.9 B.16 C.18 D.27
9.已知点，是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，，下列说法正确的是（ ）
A.圆上恰有一个点到直线1的距离为 B.长的最小值为
C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点
10.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知向量，，则，夹角的余弦值为__________.
12.在中，，，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.
条件 ①周长为10 ②面积为10 ③中，
方程
则满足条件①轨迹方程为__________；满足②的轨迹方程为__________；满足③轨迹方程为__________（用代号、、填入）.
13.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则_______________
14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点.试求函数在区间上的“中值点”__________.
15.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①tanh函数是增函数；
②tanh函数是奇函数；
③tanh函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
16.已知中，.
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17.如图，四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.
18.某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
男生 98 92 92 91 90 90 88 87 87 85 82 79 77 67 57
女生 97 99 96 93 92 91 90 87 85 81 80 77 76 76 48
（1）分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率；
（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；
（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.
19.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、.过右焦点的直线1交椭圆于点、，且的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.
21.已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中，，或
（1）已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
（2）已知，数列是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
（3）已知，数列是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，求的最小值.
参考答案
一、单选题
1.【答案】A 【详解】设，则，
由得，即.
所以的实部为1.
故选：A
2.【答案】A 【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由（1）可得：，由（3）可得：，所以，
由（2）可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
3.【答案】C 【详解】由余弦定理可得，即，
，解得或2.
故选：C.
4.【答案】A 【详解】由题意得，即，则.
故选：A.
5.【答案】C
【详解】因为正四棱锥，底面边长是2，所以底面积为.
设正四棱锥的高为，由，所以.
所以侧棱长为.
即侧棱长为.
故选：C
6.【答案】B
【详解】因为，
向量，满足，且，
所以，
则，
所以.
故选：B.
7.【答案】C 【详解】若，且，，，则“”是“”的充分条件；
若，则，又，，则“”是“”的必要条件；
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
8.【答案】C 【详解】设右焦点为，连接，，，
双曲线上的点与关于轴对称，
和，和，和分别关于轴对称
，，，
，，，
=18
故选：C.
9.【答案】D 【详解】A.由题意得，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
，
圆上有两个点到直线l的距离为，选项A错误.
B.如图，
，，
，，
，
当最小时，有最小值，
当，即为圆心到直线l的距离时，，
，选项B错误.
C.由题意得，，
四边形面积为：，
由选项B可知，选项C错误.
D.设，
，是圆的切线，
点，在以为直径的圆上.
，
以为直径的圆为，
整理得，
与圆方程相减得直线方程为：
，
由得，即直线恒过定点，选项D正确.
故选：D.
10.【答案】B 【详解】设事件A表示“小球落入2号容器”，
若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，
所以.
故选：B.
二、填空题
11.【答案】
【详解】，，故
12.【答案】
【详解】①的周长为10，即，
因为，所以，
故动点的轨迹为以、为焦点的椭圆，则，，，且点不在轴上，
所以轨迹方程为与对应；
②的面积为10，所以，即，即，与对应；
③因为，所以，
且点不在轴上，即，与对应.
故答案为：；；
13.【答案】
【详解】，
则由，有，即，
的周期，故，又，故，
则有，解得，
又，故.
故答案为：.
14.【答案】
【详解】，，，
设在区间上的“中值点”为，则，
解得，
故函数在区间上的“中值点”为.
故答案为：
15.【答案】①②③
【详解】对于①，任取，且，则，
所以，，
所以，，故函数是增函数，①对；
对于②，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
，tanh函数是奇函数，②对；
对于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函数的值域为，③对；
对于④，由③可知，，则，
当时，，此时，函数没有零点，④错.
故答案为：①②③.
三、解答题
16.【详解】（1），，又，；
（2）选①，，因为，由得，所以，因此，
，
由得，
；
选②，，，，
又，，角可能为锐角也可能为钝角，三角形是两解，不合题意；
选③，，而，，，以下同选①.
17.【详解】（1）证明：过作交于，连接，
则，，
又，，
，，
四边形ABMN是平行四边形，
，又平面，平面，
平面PAD.
（2）连接BD，
，，，，
，，
又，，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令可得，
，
直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为.
（3），
.
18.【详解】（1）由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，
则该学校男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；
（2）表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，
从中随机抽取3人，女生人数为0，1，2，3.
则，，，.
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；
（3）3名学生的综合成绩为88，87，80.
19.【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
.
所以椭圆的方程为：.
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：.
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，，
由韦达定理得，.
又，，则
注意到，即：
.
20.【详解】（1）函数求导得，
因为函数在处的切线为轴，
所以，即.
（2）函数的导函数，
若，当时，恒成立，
函数在上单调递增，即函数无极值点.
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
因此，为的极值点，且无极大值点.
所以当时，在内极值点个数为0；
当时，在内极值点个数为1.
（3）当时，导函数，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，
又因为，
当时，，当时，，
所以函数存在两个零点，.
设，又因为，所以，
又因为，
，
所以，
所以.
21.【详解】（1）根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以A的所有“相邻数列”有；；；.
（2）任取的一个“相邻数列”，
因为或，
或，
所以有且，
对于，，的取值分以下4种情形：
（a），，
（b）；，
（c），，
（d），
由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
递增，，即，
由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足数列的有11个.
（3）令，，所以对任意，，
设，，，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合.
若，，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），，此时，对任意的，，由得，
所以对任意的，，注意到，所以
，
等号当且仅当时取到；
（ii）存在整数，使得，
对任意的，，对任意的，，所以
（iii），.此时，对任意的，，与情形1类似，
对任意的，，注意到，
所以，
综上，的最小值为37.