江西省八校协作体2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题（含解析）

江西省八校协作体高二年级第一次联考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第4节3.4.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
2.若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是
A. B. C. D.
3.设为实数，则双曲线的焦距为
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是
A. B.
C. D.
5.已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为
A. B. C.20 D.15
6.在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为
A.-16 B.-14 C.-12 D.-8
7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为
A. B. C. D.
8.已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是
A.若两个不同平面，的法向量分别是，，则
B.若，，，则点在平面内
C.已知，，则与方向相同的单位向量是
D.若，，是空间的一组基，则向量，，也是空间的一组基
10.已知圆与圆交于，两点，则下列说法正确的是
A.线段的中垂线方程为
B.直线的方程为
C.
D.若点是圆上的一点，则的最大值是
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是
A.的最小值为8
B.存在点，使得
C.点，的纵坐标之积为定值
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则_____.
13.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是_____.
14.已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知空间三点，，.
（1）设，，求的坐标；
（2）求的面积.
16.（本小题满分15分）
已知圆的圆心在直线上，且过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点是圆上的一点，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点.
（1）用向量，，表示；
（2）求线段的长及直线与所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，且过点（2，1），直线与交于，两点.
（1）求的方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程；
（3）若直线的斜率不为0且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.
（1）求的方程；
（2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.
①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；
②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
江西省八校协作体高二年级第一次联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题意，抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为.故选C.
2.A 设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率.故选A.
3.B 由题意，，解得，又，故，所以焦距为.故选B.
4.D 直线，变形可得，所以该动直线过定点，则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为，则半径最大的圆的标准方程为.故选D.
5.D 设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，又圆心坐标为，所以，又半径为，则当最大时，，此时的面积也最大，最大值为.故选D.
6.C 记的重心为，点是的中点，点是的中点，又在正三棱锥中，，所以，平面，又平面，所以，所以.又，所以，所以当与重合时，取最小值0，此时有最小值-12.故选C.
7.B 设关于平分线的对称点为，由椭圆对称性及角平分线性质可知，，三点共线且，又因为，所以是正三角形，设，由椭圆定义可得，所以，即，.在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以该椭圆的面积为.故选B.
8.C 连接，，因为点是线段的中点，所以，又，所以，即.设，则，即，所以点在圆上，当直线与圆相切时，取得最大值，此时.故选C.
9.BD 因为，，所以，所以，故A错误；因为，所以，，共面，即点在平面内，故B正确；因为，，所以，所以与方向相同的单位向量是，故C错误；若，，是空间的一组基，则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以，，也是空间的一组基，故D正确.故选BD.
10.ABD 直线是线段的中垂线，又，，则直线的方程为，即，故A正确；圆和圆的公共弦所在直线方程为，即，故B正确；点到直线的距离为，所以，故C错误；记线段的中点为，所以，又，所以的最大值是，故D正确.故选ABD.
11.ACD 由题意，双曲线，可得，，则，所以焦点，，设，则，且，即，由，故A正确；假设存在点，设，则，且，即，所以，所以不存在点，使得，故B错误；显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，又直线与相切，所以，整理得，所以，即0，解得，即点的纵坐标为.不妨设直线与的交点为，与的交点为，由解得，即点的纵坐标为，由解得，即点的纵坐标为，则点，的纵坐标之积为，故C正确；因为，所以点是线段的中点，所以，故D正确.故选ACD.
12.4 因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，所以，解得.
13. 由圆，得圆心坐标，半径为1，点关于轴的对称点为，所以它爬到的最短路程是.
14.11 因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以.显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由得，所以，解得，所以，同理可得，所以，所以的最小值是11，此时，解得.
15.解：（1）由已知得， ……2分
因为，设，所以， ……4分
解得， ……5分
所以或. ……6分
（2）由题可得，，
所以，，
所以， ……9分
又，所以，
所以的面积. ……13分
16.解：（1）因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，，
所以， ……3分
解得，所以， ……4分
所以圆的半径， ……5分
所以圆的标准方程为. ……6分
（2）设，又点是圆上的一点，
所以直线与圆有公共点，所以， ……12分
解得，即的取值范围是. ……15分
17.解：（1）由题意知
. ……4分
（2）因为四边形是正方形，，，
所以，，，
所以
，
即线段的长为. ……8分
因为，
所以
， ……10分
又
， ……12分
所以，
即直线与所成角的余弦值为. ……15分
18.解：（1）由题意知 ……2分
解得，，， ……3分
所以的方程为. ……4分
（2）设，，又线段的中点为，所以即 ……6分
又，是上的点，所以所以，
所以， ……8分
即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. ……10分
（3）由题意左焦点，直线的斜率不为0，设直线，
由得，所以，
，，. ……12分
设的中点为，则，
点在轴上，且，，则垂直平分，且，
所以的中垂线方程为，令，得， ……13分
所以， ……14分
又，
……15分
所以， ……16分
解得，所以直线的斜率是. ……17分
19.解：（1）由题意知 ……2分
解得，， ……3分
所以的方程为. ……4分
（2）由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点），
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由得，所以，解得， ……6分
所以. ……7分
①因为，，又，
所以， ……9分
解得或，即点的坐标为（-1，2）或（-1，-2）. ……10分
②直线，即，由得，，即，所以，解得，
所以， ……12分
所以直线的斜率， ……13分
所以直线的方程为， ……14分
令，得，解得，
所以直线恒过定点， ……16分
又，即，点是的中点，所以. ……17分