浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 749.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-23 16:11:57 | ||
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文档简介
浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C.2 D.4
3.直线与直线的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
4.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在确定的平面内，点是平面ABC外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹是双曲线 B.若，则点的轨迹是椭圆
C.若，则点的轨迹是一条直线 D.若，则点的轨迹是圆
10.已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.平面
C.异面直线AE与所成的角的余弦值为 D.点到平面ACE的距离为
11.已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ）
A.若时，圆与圆有两条公切线 B.若时，两圆公共弦所在直线的方程为
C.弦长的最小值为 D.若点，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______.
13.在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.
14.平面直角坐标系xOy中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线MA平行于另一条渐近线，则圆的方程为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知圆和圆外一点
（1）求的取值范围
（2）若，过点作圆的切线，求切线方程
16.如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面，
（1）证明：平面平面
（2）求直线与平面所成角的大小
17.在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点.
（1）求曲线的方程
（2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程
18.如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点，
（1）若点为BC中点，证明：
（2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值
（3）求线段长的最小值
19.阅读材料：
极点与极线，是法国数学家吉拉德 笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中，极点与极线有以下基本性质和定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题：
已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，
已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点A，B，
（1）若证明：极线AB恒过定点.
（2）在（1）的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程
（3）若，极线AB交的右支于A，B两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线AE，直线BP分别交轴于M，N两点，点为坐标原点，求的值
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D B B A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABD BD
三、填空题
题号 12 13 14
答案 12
四、解答题
15.（5分+8分）
解：（1）根据题意：…………………………………………2分
点在圆外，则…………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………………5分
（2）……………………………………………………………………………………6分
则圆的方程为：
当不存在时，直线，满足题意……………………………………………………………………8分
当存在时，设切线方程为
.………………………………………………………………………………………10分
……………………………………………………………………………………………………12分
切线方程为…………………………………………………………………………13分
综上，切线方程为：或
16.（6分+9分）
解：（1）不妨设，则，
由余弦定理得
四边形ABCD是平行四边形………………………………………………2分
平面……………………………………………………………………4分
又平面平面平面………………………6分
（2）法1：延长线段交于点，过点作交PC于点，由（1）知，平面平面PAC，平面平面平面PAC
平面平面平面PCD
点到平面PCD的距离等于点到平面PCD的距离
在Rt中，……………………………………9分
过点作平面PCD于点，则为直线PB与平面PCD所成的角………………11分
…………………………………………………………………………13分
，即
所以与平面所成的角为…………………………………………………………15分
几何法采分点说明：
1.正确PB的值给2分；
2.正确AH的值给3分；
2.指出线面角或作出线面角给2分；
3.答案给2分
法2：由（1）可知AB，AC，AP两两相互垂直，则分别以AB，AC，AP为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
……………………………………………………………8分
……………………………………………………………………………………10分
设平面的法向量为
则令，则………………………………13分
所以与平面所成的角为………………………………………………………………15分
建系法采分点说明：
1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分
2.有正确的给2分
3.正确法向量给3分
4.答案给2分
（其他方式建系情况同样给分）
17.（4分+11分）
解：（1）由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆
所以即……………………………………………………3分
所以轨迹方程为……………………………………………………………………………4分
（2）显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：………………………………………6分
由
设
由韦达定理可得：①…………………………………………8分
（有写出韦达定理就给2分）
分别是BF，AB的中点，
②……………………………………………………………………11分
（其他方式得到的关系，同样给分）
由①②可得.……………………………………………………………………………………13分
所以直线的方程为：…………………………………………………………………15分
18.（4分+6分+7分）
解：（1）法1：为正三角形
平面平面PAE……………………………………………………2分
又
平面………………………………………………………………………4分
法2：在中，，
………………………………………………………………………………2分
（正确写出任意一条给2分）
………………………………………………………………………………………………4分
（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴则
……………………………………………6分
设平面PAC的法向量为
则，令，则法向量为
同理可得平面ACF的法向量为…………………………………………………………8分
设平面PAC与平面ACF夹角为，
则…………………………………………………………10分
（有其它的方法或建系同样给分）
建系法采分点说明：
1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分
2.有任意一条正确的法向量给2分
3.答案给2分
（其他建系方式同样给分）
（3）法1：建系同（2）
设
………………………………………………………………………………11分
………………………………………………………13分
令
则………………………………………………………15分
（有写出就给2分）
在上单调递减，上单调递增
当时，……………………………………17分
（其他建系方式或方法同样给分）
法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为且平面点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧，…………13分
由（1）可知，，相交圆半径………………15分
点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，
………………………………………………17分
19.（5分+4分+8分）
解：（1）右顶点为由
双曲线的标准方程为……………………………………………………………………2分
点在直线上，设，
根据阅读材料可得极线AB为：………………………………………………4分
则由定点为………………………………………………………………………………5分
（2）若定点为AB的中点，设，则
由点差法可得…………………………………………………………………7分
所以极线方程为：……………………………………………………………………………9分
（3）由题意，设：则极线AB为：即…………………………11分
由
设，
由韦达定理可得………………………………………………13分
（有写出韦达定理就给2分）
直线，得
直线，得
（其它方法所得给同样分）…………………………………………………………………………17分
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C.2 D.4
3.直线与直线的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
4.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知点在确定的平面内，点是平面ABC外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹是双曲线 B.若，则点的轨迹是椭圆
C.若，则点的轨迹是一条直线 D.若，则点的轨迹是圆
10.已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.平面
C.异面直线AE与所成的角的余弦值为 D.点到平面ACE的距离为
11.已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ）
A.若时，圆与圆有两条公切线 B.若时，两圆公共弦所在直线的方程为
C.弦长的最小值为 D.若点，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______.
13.在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.
14.平面直角坐标系xOy中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线MA平行于另一条渐近线，则圆的方程为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知圆和圆外一点
（1）求的取值范围
（2）若，过点作圆的切线，求切线方程
16.如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面，
（1）证明：平面平面
（2）求直线与平面所成角的大小
17.在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点.
（1）求曲线的方程
（2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程
18.如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点，
（1）若点为BC中点，证明：
（2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值
（3）求线段长的最小值
19.阅读材料：
极点与极线，是法国数学家吉拉德 笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
其中，极点与极线有以下基本性质和定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
根据上述材料回答下面问题：
已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，
已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点A，B，
（1）若证明：极线AB恒过定点.
（2）在（1）的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程
（3）若，极线AB交的右支于A，B两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线AE，直线BP分别交轴于M，N两点，点为坐标原点，求的值
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D B B A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABD BD
三、填空题
题号 12 13 14
答案 12
四、解答题
15.（5分+8分）
解：（1）根据题意：…………………………………………2分
点在圆外，则…………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………………5分
（2）……………………………………………………………………………………6分
则圆的方程为：
当不存在时，直线，满足题意……………………………………………………………………8分
当存在时，设切线方程为
.………………………………………………………………………………………10分
……………………………………………………………………………………………………12分
切线方程为…………………………………………………………………………13分
综上，切线方程为：或
16.（6分+9分）
解：（1）不妨设，则，
由余弦定理得
四边形ABCD是平行四边形………………………………………………2分
平面……………………………………………………………………4分
又平面平面平面………………………6分
（2）法1：延长线段交于点，过点作交PC于点，由（1）知，平面平面PAC，平面平面平面PAC
平面平面平面PCD
点到平面PCD的距离等于点到平面PCD的距离
在Rt中，……………………………………9分
过点作平面PCD于点，则为直线PB与平面PCD所成的角………………11分
…………………………………………………………………………13分
，即
所以与平面所成的角为…………………………………………………………15分
几何法采分点说明：
1.正确PB的值给2分；
2.正确AH的值给3分；
2.指出线面角或作出线面角给2分；
3.答案给2分
法2：由（1）可知AB，AC，AP两两相互垂直，则分别以AB，AC，AP为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
……………………………………………………………8分
……………………………………………………………………………………10分
设平面的法向量为
则令，则………………………………13分
所以与平面所成的角为………………………………………………………………15分
建系法采分点说明：
1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分
2.有正确的给2分
3.正确法向量给3分
4.答案给2分
（其他方式建系情况同样给分）
17.（4分+11分）
解：（1）由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆
所以即……………………………………………………3分
所以轨迹方程为……………………………………………………………………………4分
（2）显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：………………………………………6分
由
设
由韦达定理可得：①…………………………………………8分
（有写出韦达定理就给2分）
分别是BF，AB的中点，
②……………………………………………………………………11分
（其他方式得到的关系，同样给分）
由①②可得.……………………………………………………………………………………13分
所以直线的方程为：…………………………………………………………………15分
18.（4分+6分+7分）
解：（1）法1：为正三角形
平面平面PAE……………………………………………………2分
又
平面………………………………………………………………………4分
法2：在中，，
………………………………………………………………………………2分
（正确写出任意一条给2分）
………………………………………………………………………………………………4分
（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴则
……………………………………………6分
设平面PAC的法向量为
则，令，则法向量为
同理可得平面ACF的法向量为…………………………………………………………8分
设平面PAC与平面ACF夹角为，
则…………………………………………………………10分
（有其它的方法或建系同样给分）
建系法采分点说明：
1.有正确的两两垂直的空间直角坐标系给2分
2.有任意一条正确的法向量给2分
3.答案给2分
（其他建系方式同样给分）
（3）法1：建系同（2）
设
………………………………………………………………………………11分
………………………………………………………13分
令
则………………………………………………………15分
（有写出就给2分）
在上单调递减，上单调递增
当时，……………………………………17分
（其他建系方式或方法同样给分）
法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为且平面点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧，…………13分
由（1）可知，，相交圆半径………………15分
点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，
………………………………………………17分
19.（5分+4分+8分）
解：（1）右顶点为由
双曲线的标准方程为……………………………………………………………………2分
点在直线上，设，
根据阅读材料可得极线AB为：………………………………………………4分
则由定点为………………………………………………………………………………5分
（2）若定点为AB的中点，设，则
由点差法可得…………………………………………………………………7分
所以极线方程为：……………………………………………………………………………9分
（3）由题意，设：则极线AB为：即…………………………11分
由
设，
由韦达定理可得………………………………………………13分
（有写出韦达定理就给2分）
直线，得
直线，得
（其它方法所得给同样分）…………………………………………………………………………17分