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《点的坐标与新定义问题》提升训练题
1．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，2）的“长距”为 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．
3．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”．
因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，得m＝6，n＝4，
所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，
所以2m＝8+n．
所以A（5，3）是“开心点”．
（1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
4．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．
例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2倍相关点”B的坐标为（7，5）．
（1）已知点P（﹣2，3）的“倍相关点”是点Q（s，t），求s+t的值；
（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．
5．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
6．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣1，﹣4）的“短距”为 ；
（2）若点B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，求m的值；
（3）若C（﹣2，2n﹣1），D（n﹣3，5）两点为“等距点”，求n的值．
7．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称P 为“河南点”．
（1）请任意写出一个“河南点”： ；
（2）判断点A（3，4）是否为“河南点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“河南点”．请通过计算判断点M在第几象限？
8．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①则点A的“长距”是 ；
②在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 ；
③若点B的坐标为B（2，m+6），且A，B两点为“等距点”，则m的值为 ．
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
9．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标 ．
（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上，求m的值．
11．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点为“抗疫点”．
（1）点A（5，3），B（4，8）为“抗疫点”的是点 ．
（2）若点M（a，﹣4）、N（4，b）是“抗疫点”，求a，b的值．
12．已知a，b都是实数，设点，若满足2a＝b+3，我们称Q为“芬芳点”．
（1）判断A（8，3）是否为“芬芳点”，并说明理由；
（2）若M（m﹣2，3m+4）是“芬芳点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
13．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
15．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
16．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（﹣2，2） “﹣2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是 倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
17．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．
例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．
已知点P（1，﹣4）．
（1）①点Q1（4，﹣6） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
②点Q2（﹣4，4） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
③点Q3（﹣3，5） （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；
（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是 ．
（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．
19．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B'（3，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
20．对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（，），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
21．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．
（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．
22．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为B，即点B的坐标为（1，5）．
（1）①已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 ．
②已知点P的2级亲密点是点Q（4，8），则点P的坐标为 ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的倍，求a的值．
23．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点A（a，﹣4）、B（4，b）是“爱心点”，请判断A、B两点的中点C在第几象限？并说明理由；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
24．对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（，﹣2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．
26．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（，） “2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是 倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
27．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为 ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
29．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（2m﹣2，n+2）为“好点”．
（1）判断点A（3，﹣1），B（6，10）是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a+4）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
30．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．
（1）点A（﹣1，4）的“长距”为 ；
（2）若点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点D（9﹣2b，﹣5）是“龙沙点”．
31．阅读理解，解答下列问题．
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，﹣8）．
（1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，求点P1的坐标，并写出点P1到x轴的距离；
（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限．
32．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点B（7，﹣27）的“短距”．
（2）点P（5，m﹣1）的“短距”为3，则m的值为 ．
（3）若C（﹣2，k），D（4，3k﹣5）两点为“等距点”，求k的值．
33．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2．
（1）若t＝3，则d1+d2＝ ；
（2）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标；
（3）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值．
34．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣2，4），点B（1，7），因为1﹣（﹣2）＝7﹣4≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（3，﹣1），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣5），B3（0，﹣4）中，点A的“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（4，﹣2）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（﹣3，6）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m，n互为相反数，求B点的坐标．
35．新定义：在平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：点P（1，2）的“3属派生点”为P′（1+3×2，3×1+2），即P′（7，5）．
（1）点P（﹣2，3）的“2属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长为线段OP长的3倍，求k的值．
36．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（m﹣1，n+2）为“开心点”，例如点A（3，2）为“开心点”．因为当A（3，2）时，m﹣1＝3，n+2＝2，得m＝4，n＝0，
所以2m＝2×4＝8，8+n＝8+0＝8，
所以2m＝8+n，
所以A（3，2）是“开心点”．
（1）点B（2，0），C（3，5），D（7，10）中，“开心点”是 ；
（2）若点M（a，a﹣3）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
37．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称点为“如意点”．
（1）当m＝2时，写出“如意点”： ；
（2）判断点A（3，3）是否为“如意点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“如意点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
38．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“梦想点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“梦想点”；
（2）若点Q（m﹣1，3m+2）是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由．
39．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且a≠0））．例如：点P（1，4）的“2阶华益点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q的坐标为（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），求它的“3阶华益点”的坐标；
（2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶华益点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
（3）已知A（2，0）、B（0，2），在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点P（x，y），它的“m阶华益点（m为正整数）”Q使得四边形AOBQ的面积为6？如果存在，请求出m的值和P点坐标；如果不存在请说明理由．
40．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
《点的坐标与新定义问题》提升训练题
1．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，2）的“长距”为 5 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；
（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【思路点拔】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“长距”的定义解答即可；
（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；
故答案为：5．
（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，
解得m＝﹣1或2．
（3）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 3 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说明：点D是“完美点”．
【思路点拔】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．
故答案为：3；
（2）∵点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，
∴|4a﹣1|＝|﹣3|，
∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3，
解得a＝1或；
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C 在第二象限内，
∴3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
3．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”．
因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，得m＝6，n＝4，
所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，
所以2m＝8+n．
所以A（5，3）是“开心点”．
（1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【思路点拔】（1）根据B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）（4，10）不是“开心点”，理由如下，
当B（4，10）时，m﹣1＝4，，
解得m＝5，n＝18，
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“开心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”，
∴m﹣1＝a，，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
故点M在第三象限．
4．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．
例如，点A（1，3）的“2倍相关点”B的横坐标为：1+2×3＝7，纵坐标为：2×1+3＝5，所以点A的“2倍相关点”B的坐标为（7，5）．
（1）已知点P（﹣2，3）的“倍相关点”是点Q（s，t），求s+t的值；
（2）已知点M（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点N，且点N在y轴上，求点N到x轴的距离．
【思路点拔】（1）根据题意，分别求出s和t，再计算s+t的值即可；
（2）根据题意，分别求出点N的横坐标和纵坐标，根据“点N在y轴上”，求出m的值，点N到x轴的距离即点N纵坐标的绝对值．
【解答】解：（1）根据题意，得s＝﹣23＝﹣1，t（﹣2）+3，
∴s+t＝﹣1；
（2）设点N的坐标为（p，q），则p＝1﹣4m，q＝﹣2+2m，
∴点N的坐标为（1﹣4m，﹣2+2m），
∵点N在y轴上，
∴1﹣4m＝0，解得m，
∴点N的坐标为（0，），
∴点N到x轴的距离为||．
5．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【思路点拔】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；
（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，
解得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，8，
解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，2a﹣1，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．
6．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣1，﹣4）的“短距”为 1 ；
（2）若点B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，求m的值；
（3）若C（﹣2，2n﹣1），D（n﹣3，5）两点为“等距点”，求n的值．
【思路点拔】（1）根据“短距”的定义解答即可；
（2）根据“短距”的定义解答即可；
（3）由“等距点”的定义求出不同情况下的n的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：点A（﹣1，﹣4）的“短距”为1．
故答案为：1；
（2）∵B（3m﹣1，﹣3）的“短距”为2，且|﹣3|≠2，
∴|3m﹣1|＝2，
解得：m＝1或，
∴m的值为1或；
（3）根据题意可得：点C（﹣2，2n﹣1）到x轴的距离为|2n﹣1|，到y轴距离为2；点D（n﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴距离为|n﹣3|，
∵C，D为“等距点”，且2＜5，
∴点D的“短距”是|n﹣3|，
①当|2n﹣1|＞2时，|n﹣3|＝2，
∴n﹣3＝2或n﹣3＝﹣2，
解得n＝5或n＝1（舍）；
②当|2n﹣1|≤2时，|2n﹣1|＝|n﹣3|，
∴2n﹣1＝n﹣3或2n﹣1＝﹣（n﹣3），
解得n＝﹣2（舍）或，
综上所述，n＝5或．
7．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称P 为“河南点”．
（1）请任意写出一个“河南点”： （0，1）（答案不唯一） ；
（2）判断点A（3，4）是否为“河南点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“河南点”．请通过计算判断点M在第几象限？
【思路点拔】（1）当m＝2时，根据新定义计算出n的值，即可确顶点坐标；
（2）根据新定义可知m﹣2＝3，求出m的值，再根据2m＝4+n，求出n的值，即可确定纵坐标，然后再判断即可；
（3）根据M（a，2a﹣1）是“河南点”，可得m﹣2＝a，2a﹣1，表示出m和n，再根据2m＝4+n，可得2（a+2）＝4+4a﹣4，求出a的值，进一步即可确定点M坐标，从而可确定点M所在象限．
【解答】解：（1）当m＝2时，
∵2m＝4+n，
∴n＝0，
∴m﹣2＝0，1，
∴点（0，1）是一个“河南点”；
（2）点（3，4）是“河南点”，理由如下：
当m﹣2＝3时，m＝5，
∵2m＝4+n，
解得n＝6，
∴4，
∴点（3，4）是“河南点”；
（3）∵M（a，2a﹣1）是“河南点”，
∴m﹣2＝a，2a﹣1，
∴m＝a+2，n＝4a﹣4，
∵2m＝4+n，
∴2（a+2）＝4+4a﹣4，
解得a＝2，
∴点M坐标为（2，3），
∵2＞0，3＞0，
∴点M在第一象限．
8．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①则点A的“长距”是 3 ；
②在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 E、F ；
③若点B的坐标为B（2，m+6），且A，B两点为“等距点”，则m的值为 ﹣9或﹣3 ．
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【思路点拔】（1）①根据“长距”的定义解答即可；②③根据“等距点”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）①则点A的“长距”是|﹣3|＝3．
故答案为：3；
②在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是E、F，而G点的“长距”是5；
故答案为：E、F；
③若点B的坐标为B（2，m+6），且A，B两点为“等距点”，则|m+6|＝3，
解得m＝﹣9或﹣3．
故答案为：﹣9或﹣3；
（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，
①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3，解得k＝﹣7（舍去）或k＝1；
②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|，解得k＝0（舍去）或k＝2．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．即k的值是1或2．
9．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）直接写出点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标 （11，4） ．
（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（20，36），请求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据“k属派生点”的定义进行计算即可；
（2）根据“k属派生点”的定义列方程求解即可．
【解答】解：（1）由“k属派生点”的定义可知，点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣1+2×6，6﹣1×2），即（11，4），
故答案为：（11，4）；
（2）设点P的坐标为（a，b），则点P的“3属派生点”P′的坐标为（a+3b，3a+b），由题意得，
a+3b＝20，3a+b＝36，
解得a＝11，b＝3，
∴点P的坐标为（11，3）．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为 （2，﹣1） ；
（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上，求m的值．
【思路点拔】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
由题意可知
解得，
∴点P的坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
解得m，
∴﹣3（m﹣1）+2m，
∴P′（，0）．
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
综上所述，点P′的坐标为（，0）或（0，﹣16）．
11．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点为“抗疫点”．
（1）点A（5，3），B（4，8）为“抗疫点”的是点 A（5，3） ．
（2）若点M（a，﹣4）、N（4，b）是“抗疫点”，求a，b的值．
【思路点拔】（1）直接利用“抗疫点”的定义判断即可；
（2）直接利用“抗疫点”的定义得出a、b的值．
【解答】解：（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，
解得m＝6，n＝4，
则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“抗疫点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，8，
解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“抗疫点”．
故答案为：A（5，3）；
（2）∵点M（a，﹣4）是“抗疫点”，
∴m﹣1＝a，4，
∴n＝﹣10，
又∵2m＝8+n，
∴2m＝8+（﹣10），
解得m＝﹣1，
∴﹣1﹣1＝a，
解得a＝﹣2；
∵点N（4，b）是“抗疫点”，
∴m﹣1＝4，b，
∴m＝5，
又∵2m＝8+n，
∴10＝8+n，
解得n＝2，
∴b2，
解得b＝2．
12．已知a，b都是实数，设点，若满足2a＝b+3，我们称Q为“芬芳点”．
（1）判断A（8，3）是否为“芬芳点”，并说明理由；
（2）若M（m﹣2，3m+4）是“芬芳点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【思路点拔】（1）直接利用“芬芳点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“芬芳点”的定义得出m的值进而得出答案．
【解答】解：（1）A（8，3）是“芬芳点”，理由如下：
当A（8，3）时，a+5＝8，，
解得a＝3，b＝3，
则2a＝6，b+3＝6，
∴2a＝b+3，
∴A（8，3）是“芬芳点”．
（2）点M在第三象限，理由如下：
∵M（m﹣2，3m+4）是“芬芳点”，
∴a+5＝m﹣2，，
解得：a＝m﹣7，b＝9m+6，
代入2a＝b+3，得：2（m﹣7）＝（9m+6）+3，
解得：，
∴，，
即点，
∴点M在第三象限．
13．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【思路点拔】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，
所以3×3＝2×2+5，
所以A（3，2）是“新奇点”；
（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
14．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 （﹣5，﹣7） ．
（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【思路点拔】（1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论；
（2）依据点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，即可得到关于a的不等式组，进而得到a的整数解；
（3）点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值．
【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）．
故答案为：（﹣5，﹣7）．
（2）∵点B（2，﹣3），
∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．
又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限，
∴，
解得 ，
∵a取整数，
∴a＝1；
（3）∵点C（m+2，1﹣3m），
∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）．
∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴|16m﹣3|＝1，
∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1．
解得 或 ．
15．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 5 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，
∴|4﹣2a|＝|﹣2|，
∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2，
解得a＝1或a＝3；
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，
∴3b﹣2＝4，解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点D是“角平分线点”．
16．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（﹣2，2） 是 “﹣2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（3，2）是 倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
【思路点拔】（1）根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可；
（2）根据坐标轴上的点的特征，得到a＝0或b＝0，再由“n倍理想坐标”的概念，得到a2+b2＝nab＝0，然后结合非负数的性质，即可求出（a，b）的坐标；
（3）根据象限角平分线上的点的特点，分两种情况讨论：①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b≠0；②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b≠0，根据“n倍理想坐标”的概念分别求解即可．
【解答】解：（1）∵（﹣2）2+22＝8，（﹣2）×（﹣2）×2＝8，
∴（﹣2）2+22＝（﹣2）×（﹣2）×2，
∴（﹣2，2）是“﹣2倍理想坐标”，
∵32+22＝3n×2＝6n，
∴；
故答案为：是，；
（2）∵（a，b）在坐标轴上，
∴a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
∵（a，b）为“n倍理想坐标”，
∴a2+b2＝nab＝0，
∴a＝0且b＝0，
∴（a，b）的坐标是（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）（3）分两种情况：
①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b≠0，
∵a2+b2＝2a2＝2a a＝2ab，
∴（a，b）是2倍理想点；
②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b≠0，
∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，
∴（a，b）是﹣2倍理想点．
综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
17．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“方格点”．
例如：点（3，﹣4），（4，﹣2）互为“方格点”；点（2，﹣2），（﹣2，0）互为“方格点”．
已知点P（1，﹣4）．
（1）①点Q1（4，﹣6） 不是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
②点Q2（﹣4，4） 是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
③点Q3（﹣3，5） 不是 （填“是”或“不是”）点P的“方格点”；
（2）若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，求m的值；
（3）若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，求n的值．
【思路点拔】（1）根据“方格点”的定义解答即可；
（2）根据“方格点”的定义，解m﹣1＝±4即可；
（3）分情况讨论，n+1＝±4，|2n﹣3|＜4时或2n﹣3＝±4，|n+1|＜4时，进而求得符合条件的n的值．
【解答】解：（1）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，
①点Q1（4，﹣6）到x轴，y轴的距离的较大值为6，
∴点Q1（4，﹣6）不是点P的“方格点”；
②点Q2（﹣4，4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，
∴点Q2（﹣4，4）是点P的“方格点”；
③点Q3（﹣3，5）到x轴，y轴的距离的较大值为5，
∴点Q3（﹣3，5）不是点P的“方格点”，
故答案为：①不是；②是；③不是；
（2）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（m﹣1，3）与点P互为“方格点”，
∴m﹣1＝±4，
解得：m＝﹣3或5；
（3）∵点P（1，﹣4）到x轴，y轴的距离的较大值为4，若点Q（n+1，2n﹣3）与点P互为“方格点”，
∴2n﹣3＝±4，|n+1|≤4，
解得：n＝﹣5或3，
当n＝﹣5时，|2n﹣3|＝13＞4（舍），
当n＝3时，|2n﹣3|＝3＜4，
∴n＝3；
2n﹣3＝±4，|n+1|＜4，
n＝3.5或﹣0.5，
当n＝3.5时，|n+1|＝4.5＞4（舍），
当n＝﹣0.5时，|n+1|＝0.5＜4，
∴n＝﹣0.5，
综上：n＝3或n＝﹣0.5．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是 B与D ．
（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．
【思路点拔】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于3的点即可；
（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，
∴与点A互为等差点的是B与D；
故答案为：B与D；
（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，
∴n+1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4﹣|﹣2|＝﹣n﹣1﹣1，
解得n＝2或n＝﹣4，
∴点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）．
19．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B'（3，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
【思路点拔】（1）由点B的“2级关联点”是B'（3，3）得出，解之求得x、y的值即可得；
（2）由点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点M′在y轴上知﹣m+3＝0，据此求得m的值，再进一步求解可得．
【解答】解：∵点B的“2级关联点”是B'（3，3），
∴，
解得：，
则点B的坐标为（1，1）；
（2）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N的坐标为（﹣m+3，﹣5m﹣1），且点N在y轴上，
∴﹣m+3＝0，
解得m＝3，
则﹣5m﹣1＝﹣16，
∴点N坐标为（0，﹣16）．
20．对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（，），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
【思路点拔】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；
（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）[A]＝|﹣3|+|4|＝7，[B]＝||+|﹣3|＝4；
（2）∵点M在x轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M]＝2，
∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，
∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．
21．点P（a，b）是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（ka+b，a+kb）（其中k为常数且k≠0），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点P（1，2）的“2拓点”Q为（2×1+2，1+2×2），即点Q为（4，5）．
（1）求点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标；
（2）若点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），求点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算，然后求出点Q的坐标即可；
（2）设P（x，y），根据已知条件中的新定义，列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可．
【解答】解：（1）∵﹣2×3+1＝﹣6+1＝﹣5，﹣2+3×1＝﹣2+3＝1，
∴点P（﹣2，1）的“3拓点”Q的坐标为（﹣5，1）；
（2）设P（x，y），
∵点P的“4拓点”Q的坐标为（﹣2，7），
∴，
由②得：x＝7﹣4y③，
把③代入①得：4（7﹣4y）+y＝﹣2，
28﹣16y+y＝﹣2，
﹣15y＝﹣30，
y＝2，
把y＝2代入③得：x＝﹣1，
∴方程组的解为：，
∴点P（﹣1，2）．
22．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为B，即点B的坐标为（1，5）．
（1）①已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 （14，2） ．
②已知点P的2级亲密点是点Q（4，8），则点P的坐标为 （4，0） ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的倍，求a的值．
【思路点拔】（1）根据亲密点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）由点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，列出方程，即可求出m的取值；
（3）设点E的坐标为（x，0），根据亲密点的定义点F（x，ax），进而根据题意列出|ax||x|，求得a或．
【解答】解：（1）①∵点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，
∴D（﹣1+3×5，3×（﹣1）+5），
即D（14，2），
故答案为（14，2）；
②设点P的坐标为（x，y），
依题意得，
解得，
点P的坐标为（4，0），
故答案为（4，0）；
（2）依题意得m﹣1﹣3×2m＝0，
解得m，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝﹣m+33，
∴M1（0，），
（3）设点E的坐标为（x，0），则点E的a级亲密点为点F为（x，ax），
∴EF＝|ax|，
∵EF的长度为OE长度的倍，
∴|ax||x|，
∴a或．
23．当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点A（a，﹣4）、B（4，b）是“爱心点”，请判断A、B两点的中点C在第几象限？并说明理由；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
【思路点拔】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，）中，分别用a或b表示出m、n，再代入2m＝8+n中可求解a、b的值，则可得A和B点的坐标，根据中点坐标公式求出C点坐标，再判断象限；
（3）解方程组，用q和p表示x和y，代入2m＝8+n，得到关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，讨论出p值，解出q值．
【解答】解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，
解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，
所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，8，
解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：
∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，4，
解得m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，2（a+1）＝8﹣10，解得a＝﹣2，
所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，代入2m＝8+n，解得b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（，），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y的方程组得．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1p﹣q，2q，
解得mp﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得2p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得2p﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使2p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得q．
所以P＝0，q．
24．对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（，﹣2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
【思路点拔】（1）根据题意可以求得折线距离[A]，[B]；
（2）根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）[A]＝|﹣3|+|4|＝7，[B]＝||+|﹣2|＝3；
所以点A，点B的折线距离分别为7、3；
（2）∵点M在x轴的上方，其横坐标均为整数，且[M]＝2，
∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，
∴点M的坐标为（﹣1，1），（1，1），（0，2）．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为 （4，4） ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点P'是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点P'位于坐标轴上，求m的值．
【思路点拔】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；
（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；
（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”P'，再分P'在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．
【解答】解：（1）点P的坐标为（﹣1，5），则它的“1级关联点”的坐标为（﹣1×1+5，﹣1+1×5），即（4，4）．
故答案为：（4，4）；
（2）解：点P的坐标为（x，y），
由题意可知，
解得：，
∴点P的坐标为（3，﹣2）；
（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为P′（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），即（m+4，﹣5m﹣2）
①P'位于x轴上，
∴﹣5m﹣2＝0，解得：；
②P'位于y轴上，
∴m+4＝0，解得：m＝﹣4．
综上所述，m的值为或﹣4．
26．我们规定：若a2+b2＝nab，就称（a，b）为“n倍理想坐标”，例如因为12+（﹣1）2＝（﹣2）×1×（﹣1），所以称（1，﹣1）为“﹣2倍理想坐标”，因为12+22＝2.5×1×2，所以称（1，2）为“2.5倍理想坐标”．
根据材料，思考下列问题：
（1）（，） 是 “2倍理想坐标”（填“是”或“不是”）；（2，3）是 倍理想坐标．
（2）当（a，b）在坐标轴上时，若（a，b）为“n倍理想坐标”，求（a，b）的坐标，并指出它是平面直角坐标系中的哪个特殊位置；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），求（a，b）是几倍理想点？
【思路点拔】（1）根据“n倍理想坐标”的定义判断即可；
（2）根据坐标轴上的点的特征得到a＝0或b＝0，那么ab＝0，根据“n倍理想坐标”的定义得出a2+b2＝nab＝0，根据非负数的性质求出a＝0且b＝0，进而求解即可；
（3）根据四个象限角平分线上的点的特征得出a＝±b．再分①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点；②（a，b）是第二、四象限角平分线上的点两种情况进行讨论，利用“n倍理想坐标”的定义求解即可．
【解答】解：（1）因为（）2+（）2＝2，所以（，） 是“2倍理想坐标”；
因为22+322×3，所以（2，3）是“倍理想坐标”．
故答案为：是，；
（2）当（a，b）在坐标轴上时，a＝0或b＝0，
∴ab＝0，
∵（a，b）为“n倍理想坐标”，
∴a2+b2＝nab＝0，
∴a＝0且b＝0，
∴（a，b）的坐标为（0，0），它是平面直角坐标系中的原点；
（3）若（a，b）是象限角平分线上的点（原点除外），则a＝±b≠0．
分两种情况：
①当（a，b）是第一、三象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝b，
∵a2+b2＝2a2＝2a a＝2ab，
∴（a，b）是2倍理想点；
②当（a，b）是第二、四象限角平分线上的点（原点除外）时，则a＝﹣b，
∵a2+b2＝2a2＝2a（﹣b）＝﹣2ab，
∴（a，b）是﹣2倍理想点．
综上所述，（a，b）是2倍或﹣2倍理想点．
27．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 （2，14） ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
【思路点拔】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）根据关联点的定义和点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P′位于坐标轴上，即可求出P′的坐标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（x，y）的“2级开心点”是点Q（4，8），
∴
解得，
∴点P的坐标为（0，4）；
（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），
①P′位于x轴上，
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，
解得：m，
∴﹣3（m﹣1）+2m，
∴P′（，0）．
②P′位于y轴上，
∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，
解得：m＝3
∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，
∴P′（0，﹣16）．
综上所述，点P′的坐标为（，0）或（0，﹣16）．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为 （2，2） ；
（2）若点P（x，y）的“3级关联点”的坐标为（7，﹣3），求点P的坐标；
（3）若点Q是点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值．
【思路点拔】（1）根据“a级关联点”的定义即可求解；
（2）点P的坐标为（x，y），根据“a级关联点”的定义列出方程组解出x，y，即可求解；
（3）先表示出点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”Q，再分Q在x轴、y轴两种情况讨论即可解答．
【解答】解：（1）点P的坐标为（﹣1，3），则它的“1级关联点”的坐标为（﹣1×1+3，﹣1+1×3），即（2，2）．
故答案为：（2，2）；
（2）解：点P的坐标为（x，y），
由题意可知，
解得：，
∴点P的坐标为（3，﹣2）；
（3）解：∵点P（m﹣2，3m）的“﹣2级关联点”为Q（﹣2（m﹣2）+3m，m﹣2+（﹣2）×3m），即（m+4，﹣5m﹣2），
①Q位于x轴上，
∴﹣5m﹣2＝0，
解得：；
②Q位于y轴上，
∴m+4＝0，
解得：m＝﹣4．
综上所述，m的值为或﹣4．
29．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（2m﹣2，n+2）为“好点”．
（1）判断点A（3，﹣1），B（6，10）是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a+4）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【思路点拔】（1）由题意知，当2m﹣2＝3，n+2＝﹣1时，则2m＝5，n＝﹣3，可得2m＝8+n，则可知A（3，﹣1）是“好点”，同理判断B即可；
（2）由题意知，当2m﹣2＝a，n+2＝2a+4时，解得，2m＝a+2，n＝2a+2，由“好点”的定义可得，a+2＝8+2a+2，求a，然后判断M的位置即可．
【解答】解：（1）A（3，﹣1）是“好点”，B（6，10）不是“好点”，理由如下：由题意知，当2m﹣2＝3，n+2＝﹣1时，
解得，2m＝5，n＝﹣3，
∵8+n＝8﹣3＝5，
∴2m＝8+n，
∴A（3，﹣1）是“好点”，
当2m﹣2＝6，n+2＝10时，
解得，2m＝8，n＝8，
∵8+n＝8+8＝16，
∴2m≠8+n，
∴B（6，10）不是“好点”；
（2）第三象限，理由如下：
当2m﹣2＝a，n+2＝2a+4时，
解得，2m＝a+2，n＝2a+2，
∵点M（a，2a+4）是“好点”，
∴a+2＝8+2a+2，
解得，a＝﹣8，
∴2a+4＝﹣12，
∴M（﹣8，﹣12）在第三象限．
30．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”．
（1）点A（﹣1，4）的“长距”为 4 ；
（2）若点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点D（9﹣2b，﹣5）是“龙沙点”．
【思路点拔】（1）根据“长距“的定义解答即可；
（2）根据“龙沙点”的定义解答即可；
（3）由“长距“的定义求出b 的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，4）到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
点A的“长距“为4．
故答案为：4；
（2）点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”，
∴|2a﹣6|＝|a+3|，
∴2a﹣6＝a+3或2a﹣6＝﹣a﹣3，
解得a＝9或a＝1；
（3）点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，
3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D 的坐标为（5，﹣5），
点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴D是“龙沙点”．
31．阅读理解，解答下列问题．
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，﹣8）．
（1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，求点P1的坐标，并写出点P1到x轴的距离；
（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限．
【思路点拔】（1）根据“k级牵挂点”的定义判定结论；
（2）设Q（x，y），根据点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3）可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）∵点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，
∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2，
即P1（16，﹣2），
点P1到x轴的距离为2；
（2）∵点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），
设Q（x，y）．
则有，
解得，
∴Q（1，1），点Q在第一象限．
32．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点B（7，﹣27）的“短距”．
（2）点P（5，m﹣1）的“短距”为3，则m的值为 4或﹣2 ．
（3）若C（﹣2，k），D（4，3k﹣5）两点为“等距点”，求k的值．
【思路点拔】（1）根据点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求解；
（2）根据定义可知|m﹣1|＝3，解绝对值方程即可求解；
（3）点C到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，进而分类讨论，根据“等距点”的定义列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，
∴点B的“短距”为7．
（2）∵点P（5，m﹣1）的“短距”为3，
若m﹣1＜5，则|m﹣1|＝3，
解得m＝2或m＝﹣4，
若m﹣1＞5，则“短距”为5，不符合题意，
故答案为：4或﹣2；
（3）点C到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，
当|k|＞2时，2＝|3k﹣5|，
∴3k﹣5＝2或3k﹣5＝﹣2，
解得或k＝1（舍）．
当|k|≤2时，|k|＝|3k﹣5|，
∴k＝3k﹣5或k+3k﹣5＝0，
解得或（舍）．
综上，k的值为或．
33．在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2．
（1）若t＝3，则d1+d2＝ 7 ；
（2）若t＜0，d1＝d2，求点M的坐标；
（3）若点M在第二象限，且md1﹣5d2＝10（m为常数），求m的值．
【思路点拔】（1）根据题意得出d1＝|2t|，d2＝|2﹣t|，再把t＝3代入进行计算即可；
（2）根据t＜0判断出2﹣t及2t的符号，由d1＝d2可得出t的值，进而得出点M的坐标；
（3）根据点M在第二象限可知2﹣t＜0，2t＞0，用t表示出d1，d2代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点M的坐标为（2﹣t，2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2，
∴d1＝|2t|，d2＝|2﹣t|，
∵t＝3，
∴d1＝|2t|＝2×3＝6，d2＝|2﹣t|＝|2﹣3|＝1，
∴d1+d2＝6+1＝7．
故答案为：7；
（2）∵t＜0，
∴2﹣t＞0，2t＜0，
∴d1＝|2t|＝﹣2t，d2＝|2﹣t|＝2﹣t，
∵d1＝d2，
∴﹣2t＝2﹣t，
∴t＝﹣2，
∴2﹣t＝2﹣（﹣2）＝4，2t＝2×（﹣2）＝﹣4，
∴M（4，﹣4）；
（3）∵点M在第二象限，
∴2﹣t＜0，2t＞0，
∴d1＝|2t|＝2t，d2＝|2﹣t|＝t﹣2，
∵md1﹣5d2＝10，
∴m×2t﹣5×（t﹣2）＝10，
解得m．
34．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣2，4），点B（1，7），因为1﹣（﹣2）＝7﹣4≠0，所以点A与点B互为“对角点”．
（1）若点A的坐标是（3，﹣1），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣5），B3（0，﹣4）中，点A的“对角点”为点 B2，B3 ；
（2）若点A的坐标是（4，﹣2）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（﹣3，6）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m，n互为相反数，求B点的坐标．
【思路点拔】（1）直接计算与点A互为“对角点”的坐标．
（2）利用互为“对角点”定义，求点坐标，注意分类讨论思想，题目中没有说明点B在那个轴上，注意讨论到位即可求解．
（3）利用“对角点”的概念和互为相反数的定义求点坐标，利用方程思想求解是解决问题的关键，直接依据题意解二元一次方程组即可求解点B坐标．
【解答】解：（1）由题可知，A（3，﹣1），B2（﹣1，﹣5），B1（2，0），B3（0，﹣4），
根据互为对角点的概念得；
﹣1﹣3＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4≠0；
2﹣3≠0﹣（﹣1）；
0﹣3＝﹣4﹣（﹣1）＝﹣3≠0；
∴点A的“对角点”为B2和B3，
故答案为：B2，B3，
（2）∵点A的坐标是（4，﹣2），且点A的“对角点”B在坐标轴上；
①当点B在x轴上时，设点B（a，0）；
依据题意，a﹣4＝0﹣（﹣2）；
∴a＝6；
②当点B在y轴上时，设点B（0，b）；
依据题意，0﹣4＝b﹣（﹣2）；
∴b＝﹣6．
综上所述，B（6，0）或B（0，﹣6）．
（3）由题可知，A（﹣3，6）和B（2m，﹣n）互为“对角点”；
∴2m+3＝﹣n﹣6；
∵m，n互为相反数；
∴m+n＝0；
故满足：；
解得：m＝﹣9，n＝9；
∴B（﹣18，﹣9）．
35．新定义：在平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：点P（1，2）的“3属派生点”为P′（1+3×2，3×1+2），即P′（7，5）．
（1）点P（﹣2，3）的“2属派生点”P′的坐标为 （4，﹣1） ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长为线段OP长的3倍，求k的值．
【思路点拔】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可；
（2）分k＞0和k＜0，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得：P′（﹣2+3×2，﹣2×2+3），
即：P′（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）．
（2）设点P（0，m）（m＞0），
点P的“k属派生点”为点P′，
∴P′（km，m），
∵P（0，m）（m＞0），P′（km，m）的纵坐标相同，
∴PP′∥x轴，
如图，分两种情况：
①当k＞0时，PP′＝km，
∵PP′＝3OP，
∴km＝3m，
∴k＝3；
②当k＜0时，PP′＝﹣km，
∵PP′＝3OP，
∴﹣km＝3m，
∴k＝﹣3；
综上：k＝3或k＝﹣3．
36．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称P（m﹣1，n+2）为“开心点”，例如点A（3，2）为“开心点”．因为当A（3，2）时，m﹣1＝3，n+2＝2，得m＝4，n＝0，
所以2m＝2×4＝8，8+n＝8+0＝8，
所以2m＝8+n，
所以A（3，2）是“开心点”．
（1）点B（2，0），C（3，5），D（7，10）中，“开心点”是 点B和点D ；
（2）若点M（a，a﹣3）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【思路点拔】（1）根据已知条件中的新定义和各点坐标，列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，从而求出2m和8+n的值，从而进行判断即可；
（2）根据新定义的含义，列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，从而求出2m和8+n的值，再根据2m＝8+n，列出关于a的方程，求出a和a﹣3，从而得到点M的坐标，进行判断即可．
【解答】解：（1）∵当B（2，0），m﹣1＝2，n+2＝0，
解得：m＝3，n＝﹣2，
∴2m＝2×3＝6，8+n＝8+（﹣2）＝6，
∴2m＝8+n，
∴B（2，0）是“开心点”，
∵当C（3，5），m﹣1＝3，n+2＝5，
解得：m＝4，n＝3，
∴2m＝2×4＝8，8+n＝8+3＝11，
∴2m≠8+n，
∴C（3，5）不是“开心点”；
∵当D（7，10），m﹣1＝7，n+2＝10，
解得：m＝8，n＝8，
∴2m＝2×8＝16，8+n＝8+8＝16，
∴2m＝8+n，
∴D（7，10）是“开心点”，
∴点B（2，0），C（3，5），D（7，10）中，“开心点”是：点B和点D，
故答案为：点B和点D；
（2）点M在第四象限，理由如下：
∵点M（a，a﹣3）是“开心点”，
∴m﹣1＝a，n+2＝a﹣3，2m＝8+n，
m＝1+a，n＝a﹣5，
∴2m＝8+n，
2（1+a）＝8+a﹣5，
2+2a＝a+3，
2a﹣a＝3﹣2，
a＝1，
∴a﹣3＝1﹣3＝﹣2，
∴点M的坐标为：（1，﹣2），
∴点M在第四象限．
37．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称点为“如意点”．
（1）当m＝2时，写出“如意点”： （1，1） ；
（2）判断点A（3，3）是否为“如意点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a﹣1）是“如意点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据“如意点”的定义解答即可；
（2）根据“如意点”的定义计算判断即可；
（3）根据“如意点”的定义可得m＝a+1，n＝4a﹣4，结合满足的条件可求出a，进而可得答案．
【解答】解：（1）当m＝2时，4＝4+n，
解得n＝0，
∴，
∴“如意点”为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（2）点A（3，3）是“如意点”．
理由如下：
当m﹣1＝3时，m＝4．
将m＝4代入2m＝4+n，
解得n＝4，
∴，
∴点A（3，3）是“如意点”．
（3）点M在第一象限．
理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“如意点”，
∴m﹣1＝a，，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4．
又∵2m＝4+n，即2（a+1）＝4+4a﹣4，
解得a＝1，
∴点M的坐标为（1，1），
∴点M在第一象限．
38．已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“梦想点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“梦想点”；
（2）若点Q（m﹣1，3m+2）是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由．
【思路点拔】（1）直接利用“梦想点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“梦想点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，
所以3×3＝2×2+5，
所以A（3，2）是“梦想点”；
（2）点Q在第三象限，
理由如下：
∵点Q（m﹣1，3m+2）是“梦想点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点Q在第三象限．
39．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶华益点”（其中a为常数，且a≠0））．例如：点P（1，4）的“2阶华益点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q的坐标为（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），求它的“3阶华益点”的坐标；
（2）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶华益点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
（3）已知A（2，0）、B（0，2），在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点P（x，y），它的“m阶华益点（m为正整数）”Q使得四边形AOBQ的面积为6？如果存在，请求出m的值和P点坐标；如果不存在请说明理由．
【思路点拔】（1）根据点Q是点P的“a阶华益点”求解即可；
（2）根据点P1的“﹣3阶华益点”P2位于坐标轴上，构建方程求解；
（3）P的“m阶华益点”Q的坐标为（mx+y，x+my），根据四边形AOBQ的面积为6，构建方程求解．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2，﹣1+3×5＝14，
∴点P的“3阶华益点”的坐标为（2，14）；
（2）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到P1，
∴P1（c﹣1，2c），
﹣3（c﹣1）+2c＝﹣c+3，c﹣1+（﹣3） 2c＝﹣5c﹣1，
∴P1的“﹣3阶华益点”P2的坐标为（﹣c+3，﹣5c﹣1），
又∵P2位于坐标轴上，
∴﹣c+3＝0或﹣5c﹣1＝0，
∴c＝3或，
∴P2的坐标为（0，﹣16）或；
（3）P的“m阶华益点”Q的坐标为（mx+y，x+my）．
∵S四边形AOBQ＝S△ABO+S△ABQ＝6，
∴，
又∵，
∴根据三角形的等积变形原理，
S△ABQ＝S△ABM＝S△ABN＝4，
Q点一定在线段MN上，
∴，
∴6（mx+y）6（x+my）＝18，
∴mx+y+x+my＝6，
∴（m+1）（x+y）＝6，
又∵m，x，y均为正整数，
∴①当m+1＝2，即m＝1时，x+y＝3，
则x＝1，y＝2或x＝2，y＝1，
②当m+1＝3，即m＝2时，x+y＝2，
则x＝y＝1，
∴P（1，1）．
综上所述，m＝1时，P的坐标为（1，2）或（2，1），m＝2时，P的坐标为（1，1）．
40．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 （2，14） ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“﹣4阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【思路点拔】（1）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）判断出P2的坐标，构建方程求出c即可．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
由题意可知，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣2，1）；
（3）由题意，P1（c﹣1，2c），
∴P1的“﹣4阶派生点“P2为：（﹣4（c﹣1）+2c，c﹣1﹣8c），即（﹣2c+4，﹣7c﹣1），
∵P2在坐标轴上，
∴﹣2c+4＝0或﹣7c﹣1＝0，
∴c＝2或c，
∴P2（0，﹣15）或（，0）．
