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《二元一次方程组的应用》同步提升训练题（四）
一．选择题（共19小题）
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
3．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．| B．|| C．||| D．||||
4．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
6．在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．48 B．72 C．36 D．24
7．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（ ）
4b﹣2 12
2a+1 7
3b﹣3 2a
A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3
10．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
A． B． C． D．
11．鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔有（ ）只．
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是1，则这个长方形的面积是（ ）
A．143 B．168 C．363 D．572
13．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，x﹣y的值一定为3．下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对
14．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（ ）
名称 数量（本） 单价（元/本） 金额（元）
《假如给我三天光明》 5 50 250
《爱的教育》 30
《边城》 25
30 950
A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12
15．小林在某商店两次购买商品A，B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购买 6 5 1140
第二次购买 3 7 1110
则商品A，B的标价分别是（ ）
A．60元，90元 B．90元，60元
C．90元，120元 D．120元，90元
16．如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4）
17．工人师傅用如图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖拼成如图2的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则a的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
18．用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则a+b的值有可能是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
19．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则x+y的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
二．填空题（共11小题）
20．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为 ．
21．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则符合题意的方程组是 ．
22．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
23．芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形．
24．如图（一）所示的这种拼图我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 cm．
25．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：
第一次 第二次
糯米粉/千克 10 12
黄油/千克 2 3
总金额/元 310 405
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元．
26．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？
答：（1）绳长 尺；（2）木长 尺．
27．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人．
28．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
29．如图，10块完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为 ．
30．“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x+y的值为 ．
三．解答题（共30小题）
31．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．
32．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答）
33．若在一个3×3的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个3×3的方格为“幻方”．
（1）图1是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系．
（2）珍珍要将﹣14，﹣12，﹣10，﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数．
①求中间数m的值；
②请你帮珍珍计算出如图2所示“幻方”中的“幻和”，并在空白方格内填上正确的数字．
34．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
35．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
36．今年5月9日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，请根据图中的信息回答问题：
（1）求一束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）若小强给妈妈买了一束鲜花和一个礼盒，小强一共花了多少钱？
37．李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
38．某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
39．钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
40．体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？
（2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？
41．每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份400g的营养早餐，蛋白质总含量占10%，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示：
食物 谷物面包 鸡蛋 牛奶
蛋白质含量占比 14% 13% 7%
其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？
42．列方程组解应用题：
活动课上小明想用天平称量甲、乙两类型小球的质量，但只有一个10克的砝码，反复试验后，他发现以下两种情况，天平左右平衡．
天平左边 天平右边 天平状态
记录一 5个甲类型小球， 1个10克砝码 10个乙类型小球 平衡
记录二 15个甲类型小球 20个乙类型小球， 1个10克砝码 平衡
已知每个同类型小球的质量都相同，请求出1个甲类型小球和1个乙类型小球的质量分别是多少克．
43．2023年11月9日是第32个全国消防日，今年的主题为：“预防为主，生命至上”．为加强火灾防控能力，鑫华商场计划再购进一批消防器材，已知购买15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需3800元，购买20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需5000元．求干粉灭火器和消防自救呼吸器两种消防器材的单价分别是多少元？
44．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.5单位铁质．
（1）依据题意，填写下表：
项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品
其中所含蛋白质（单位）
其中所含铁质（单位）
（2）如果运动员每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？
45．“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
46．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．
（1）依据题意，填写下表．
项目 甲原料x/克 乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位
其中所含铁质/单位
（2）如果一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
47．2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元：第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？
48．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？
49．第19届杭州亚运会于2023年10月8日隆重闭幕，本届亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人．某经销商购进了一批亚运会吉祥物，其中“琮琮”和“莲莲”共200个，花费8800元，已知“琮琮”和“莲莲”的进货价分别为50元/个和40元/个．该经销商购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
50．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计送货吨数（单位：吨） 31 70
（1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？
51．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮 莲莲
进价（元/个） 60 70
售价（元/个） 80 100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
52．某工厂生产A，B两种产品，每块甲种板材可生产3件A产品和1件B产品；每块乙种板材可生产2件A产品和2件B产品，现要生产46件A产品，26件B产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
53．某加工车间共有20名工人，现要加工1800个甲种零件，1000个乙种零件，已知每人每天加工甲种零件30个或乙种零件50个（每人只能加工一种零件），怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务？
54．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案 20 10 1100
方案二 30 15
（1）根据表中的数据，判断方案二的金额是 元；
（2）
①若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②若牛奶和咖啡每箱的原价不变，超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有多少箱？
55．【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子．
操作：如图甲所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝40厘米，AD＝60厘米，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子；如图乙所示，在长方体的一个侧面EFGH上，分别在边EH，FG上取P，Q两点，测量得：∠1＝40°，∠2＝57°，∠3＝50°，已知侧面EFGH四个角都是直角．
计算：（1）求这个盒子的高和底面正方形的边长；
（2）求∠4的度数．
56．某学校后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 40 20 ■
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据上表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元．
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因包装有污渍进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有多少箱？
57．由于卡房独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车戟满洋芋一次可运走11吨，现有洋芋31吨，计划同时租用A型车α辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
58．养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg，一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg，饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
59．连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
60．新新商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）．
商品 价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于36000元，则B种商品是打几折销售的？中小学教育资源及组卷应用平台
《二元一次方程组的应用》同步提升训练题（四）
一．选择题（共19小题）
1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：
．
故选：A．
2．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵上有16头，
∴x+y＝16；
∵下有44足，
∴2x+4y＝44．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
3．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．| B．|| C．||| D．||||
【思路点拔】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．
【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
，
把x＝3代入，得
由③得，y＝5，
把y＝5代入④得，12+5a＝27，
∴a＝3，
故选：C．
4．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据题意列方程组即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意得：，
故选：A．
5．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
【思路点拔】设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
6．在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．48 B．72 C．36 D．24
【思路点拔】设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，
依题意得，
解之得，
∴小长方形的长、宽分别为10cm，2cm，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣6×S小长方形
＝16×（8+2×2）﹣6×2×10
＝72（cm2）．
故选：B．
7．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【思路点拔】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽﹣一个长＝3，于是得方程组，解出即可．
【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得，
解得：．
9×15＝135（mm2）．
故选：B．
8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴2xy＝2×4×1＝8，
即此图形的面积为8，
故选：B．
9．幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（ ）
4b﹣2 12
2a+1 7
3b﹣3 2a
A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3
【思路点拔】根据题意列出方程组即可作答．
【解答】解：根据题意可得，
，
解得：．
故选：C．
10．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
A． B． C． D．
【思路点拔】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两得：，即可解得答案．
【解答】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两，
根据题意得：，
解得，
∴一头牛值金两；
故选：D．
11．鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔有（ ）只．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】设兔有x只，则鸡有y只，根据鸡兔同笼，有20个头，48条腿，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设兔有x只，则鸡有y只，
由题意得：，
解得：，
即 兔有4只，
故选：C．
12．如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是1，则这个长方形的面积是（ ）
A．143 B．168 C．363 D．572
【思路点拔】设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，则正方形C的边长为（y﹣1），正方形E，D的边长相等，且为（y﹣1﹣1）或，最小正方形的边长为x﹣y＝1，连接解方程组即可．
【解答】解：设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，则正方形C的边长为（y﹣1），正方形E，D的边长相等，且为（y﹣1﹣1）或，得，
整理得，
整理，得2y﹣x＝5；
又最小正方形的边长为x﹣y＝1，
联立得方程组得，
解得，
故长方形的长为x+y＝13，宽为x+y﹣2＝11，
故长方形的面积为13×11＝143，
故选：A．
13．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，x﹣y的值一定为3．下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对
【思路点拔】结论I：根据m的值为3，求出n的值，根据已知关系即可求出y的值；结论Ⅱ：根据已知得x﹣2y＝m①，2y﹣3x＝n②，所以①﹣②得：4x﹣4y＝m﹣n，再根据m﹣n＝8，即可得出x﹣y的值为定值，即可判断得解．
【解答】解：结论I：若m的值为3，则3﹣n＝8，
∴n＝﹣5．
∴
∴x＝1．
∴y＝﹣1，故I不正确．
结论Ⅱ：∵x﹣2y＝m①，2y﹣3x＝n②，
∴①﹣②得：4x﹣4y＝m﹣n，
∵m﹣n＝8，
∴4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，
∴x﹣y的值为定值2，故Ⅱ不正确．
故选：D．
14．某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（ ）
名称 数量（本） 单价（元/本） 金额（元）
《假如给我三天光明》 5 50 250
《爱的教育》 30
《边城》 25
30 950
A．15，10 B．10，15 C．12，13 D．13，12
【思路点拔】设购买《爱的教育》x本，《边城》y本，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设购买《爱的教育》x本，《边城》y本，
由题意得：，
解得：，
即购买《爱的教育》15本，《边城》10本，
故选：A．
15．小林在某商店两次购买商品A，B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购买 6 5 1140
第二次购买 3 7 1110
则商品A，B的标价分别是（ ）
A．60元，90元 B．90元，60元
C．90元，120元 D．120元，90元
【思路点拔】设商品A的标价是x元，商品B的标价是y元，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设商品A的标价是x元，商品B的标价是y元，
根据题意的：，
解得：，
即商品A的标价是90元，商品B的标价是120元，
故选：C．
16．如图，用几个大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A（2，5），则B点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（﹣5，3） D．（﹣5，4）
【思路点拔】设相同的长方形的长为x，宽为y，由A（2，5）得：，解出x，y的值，即可求出B的坐标．
【解答】解：设相同的长方形的长为x，宽为y，
由A（2，5）得：，
解得，
∴B到y轴距离为x+2y＝3+2＝5，到x轴距离为x+y＝3+1＝4，
∴B的坐标为（﹣5，4），
故选：D．
17．工人师傅用如图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖拼成如图2的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则a的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【思路点拔】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组，然后根据a的整除性即可排除错误答案，得出正确答案．
【解答】解：设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组如下：
，
由①得：m＝100﹣2n③，
将③代入②，得：4×（100﹣2n）+3n＝a，
解得：，
∵m、n都是正整数，
∴a必须能被5整除，
由此可知，选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
此时a＝265，的确是二元一次方程组的一个正整数解，
故选：B．
18．用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则a+b的值有可能是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【思路点拔】设可以制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据制作两种无盖纸盒恰好用完a张长方形纸板和b张正方形纸板，将两方程相加，可得出a+b＝5（x+y），结合x，y均为正整数，可得出a+b是5的倍数，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：设可以制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
根据题意得：，
①+②得：a+b＝5（x+y），
∵x，y均为正整数，
∴a+b是5的倍数，
∴a+b可以是2025．
故选：A．
19．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则x+y的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
【思路点拔】根据“幻方”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入x+y中，即可求出结论．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴x+y＝5+8＝13．
故选：C．
二．填空题（共11小题）
20．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为 ．
【思路点拔】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【解答】解：依题意得：，
故答案为：．
21．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则符合题意的方程组是 ．
【思路点拔】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长绳长＝1，据此可列方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得，
故答案为：．
22．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
【思路点拔】设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列二元一次方程组，两方程相加可得7x+7y＝18，进一步求解即可．
【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得，
∴7x+7y＝18，
∴x+y，
∴1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
23．芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 4 三角形， 6 正方形．
【思路点拔】设她们摆了a个三角形，b个正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设她们摆了a个三角形，b个正方形，
根据题意可得：，
解得：，
答：她们摆了4个三角形，6个正方形．
故答案为：4，6．
24．如图（一）所示的这种拼图我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 55 cm．
【思路点拔】将图（一）中的拼图长度看成（a+b）cm，根据“当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之求得a，b的值，进而得到结论．
【解答】解：将图（一）中的拼图长度看成（a+b）cm，
依题意得：，
解得：，
∴将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加5.5cm，
∴12片这样的拼图紧密拼成一行时长度为121＝55（cm）．
故答案为：55．
25．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：
第一次 第二次
糯米粉/千克 10 12
黄油/千克 2 3
总金额/元 310 405
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 675 元．
【思路点拔】设糯米粉每千克的单价为x元，黄油每千克的单价为y元，根据题意列得二元一次方程组，求得x和y的值，再代入20x+5y，计算即可求解．
【解答】解：设糯米粉每千克的单价为x元，黄油每千克的单价为y元，
依题意得，
解得，
∴20x+5y＝400+275＝675（元），
故答案为：675．
26．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？
答：（1）绳长 11 尺；（2）木长 6.5 尺．
【思路点拔】设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：，
解得，
故答案为：11，6.5．
27．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 65 人．
【思路点拔】设原长方形彩旗队阵有同学n人，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，根据题意列出方程组，即可求出a、b的值，从而求出n的值．
【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学n人，
由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数，
设n+16＝a2，n﹣16＝b2，
则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32，
由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得
，
解得，
所以n＝a2﹣16＝65（人），
故答案为：65．
28．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 79 ．
【思路点拔】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．
故答案为：79．
29．如图，10块完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为 675 ．
【思路点拔】根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y即得出答案．
【解答】解：根据图形可知，
解得：，
∴小长方形的面积为45×15＝675，
故答案为：675．
30．“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x+y的值为 17 ．
【思路点拔】根据题意和表格中的数据，每一行的三个数、每列的三个数的三个数之和都相等列出方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：，
解：，
∴x+y＝17，
故答案为：17．
三．解答题（共30小题）
31．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．
【思路点拔】设鸡有x只，兔有y只，由题意：从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
解得：，
答：鸡有23只，兔有12只．
32．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答）
【思路点拔】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
解得：，
答：鸡有13只，兔有7只．
33．若在一个3×3的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个3×3的方格为“幻方”．
（1）图1是一个“幻方”，则a＝ 2 ，b＝ 3 ，c＝ ﹣2 ，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系．
（2）珍珍要将﹣14，﹣12，﹣10，﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数．
①求中间数m的值；
②请你帮珍珍计算出如图2所示“幻方”中的“幻和”，并在空白方格内填上正确的数字．
【思路点拔】（1）根据“幻和”的定义可一次求出a，b，c；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系；
（2）①求﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可；
②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数．
【解答】解：（1）∵中间列上的三个数字之和为1﹣1﹣3＝﹣3，
∴该方格的“幻和”为﹣3，
∴a＝﹣3﹣0﹣（﹣5）＝2，b＝﹣3﹣（﹣5）﹣（﹣1）＝3，c＝﹣3﹣（﹣1）﹣0＝﹣2，
故答案为：2，3，﹣2；
∵每行数字之和为﹣3，共3行，
∵图1中所有数字之和为（﹣3）×3＝﹣9，
∴图1中所有数的和为其“幻和”的3倍；
（2）①m（﹣14﹣12﹣10﹣8﹣6﹣4﹣2+0+2）＝﹣6，
∴中间数m的值为﹣6；
②由①可知，平均每个方格的值为﹣6，
则3个方格之和为﹣8，
∴”幻和“为﹣18，
∴填方格如图：
34．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 12 张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪 36 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
【思路点拔】（1）设一张该布料裁剪m张豌豆的布料和n张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可；
（2）设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用y张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案．
【解答】解：任务一：设一张该布料裁剪m张豌豆的布料和n张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为80cm×1000cm，豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm，豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块40cm×1000cm的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得：
40m+140n＝2000，即2m+7n＝100，
∴，其中m，n为正整数，
当m＝50，n＝0，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；
当m＝8，n＝12，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；
当n＝4，m＝36，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二：设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用y张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
则，
解得，
∵50+50＝100，
∴还需从仓库拿100张布料．
答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料．
35．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 2m+n 张，B型板材 m+2n 张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 24或27或30 个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【思路点拔】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数构建方程求解．
【解答】解：由题意得：，
解得；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m＝2m，裁法二产生A型板材为：1×n＝n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m＝m，裁法二产生A型板材为：2×n＝2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m＝4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为：2m+n；m+2n；24或27或30．
36．今年5月9日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，请根据图中的信息回答问题：
（1）求一束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）若小强给妈妈买了一束鲜花和一个礼盒，小强一共花了多少钱？
【思路点拔】（1）设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据图中的信息，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结论代入即可得出答案．
【解答】解：（1）设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，
由题意得：，
解得：，
答：一束鲜花的价格为33元，一个礼盒的价格为55元；
（2）小强一共花了：33+55＝88（元），
答：小强一共花了88元．
37．李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
【思路点拔】设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，根据某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，
由题意得：，
解得：，
答：这个月李老师的电动汽车峰时为50度，谷时的充电量为130度．
38．某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
【思路点拔】设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据去年计划实现总销售利润200万元，实际总销售利润为225万元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（1+5%）x＝（1+5%）×50＝52.5，（1+15%）y＝（1+15%）×150＝172.5，
答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．
39．钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【思路点拔】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
40．体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？
（2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？
【思路点拔】（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元，根据打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元，
由题意得：，
解得：，
答：打折前甲种品牌篮球每个为100元，乙种品牌篮球每个为80元；
（2）10×100×（1﹣90%）+6×80×（1﹣80%）＝196（元）．
答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱．
41．每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份400g的营养早餐，蛋白质总含量占10%，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示：
食物 谷物面包 鸡蛋 牛奶
蛋白质含量占比 14% 13% 7%
其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？
【思路点拔】设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据小明根据专家的建议为自己搭配了一份400g的营养早餐，蛋白质总含量占10%，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，
根据题意得：，
解得：，
答：小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．
42．列方程组解应用题：
活动课上小明想用天平称量甲、乙两类型小球的质量，但只有一个10克的砝码，反复试验后，他发现以下两种情况，天平左右平衡．
天平左边 天平右边 天平状态
记录一 5个甲类型小球， 1个10克砝码 10个乙类型小球 平衡
记录二 15个甲类型小球 20个乙类型小球， 1个10克砝码 平衡
已知每个同类型小球的质量都相同，请求出1个甲类型小球和1个乙类型小球的质量分别是多少克．
【思路点拔】设1个甲类型小球的质量是x克，1个乙类型小球的质量是y克，根据表中两种情况列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设1个甲类型小球的质量是x克，1个乙类型小球的质量是y克，
由题意得：，
解得：，
答：1个甲类型小球的质量是6克，1个乙类型小球的质量是4克．
43．2023年11月9日是第32个全国消防日，今年的主题为：“预防为主，生命至上”．为加强火灾防控能力，鑫华商场计划再购进一批消防器材，已知购买15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需3800元，购买20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需5000元．求干粉灭火器和消防自救呼吸器两种消防器材的单价分别是多少元？
【思路点拔】设干粉灭火器的单价是x元，消防自救呼吸器的单价是y元．根据购买15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需3800元，购买20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需5000元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设干粉灭火器的单价是x元，消防自救呼吸器的单价是y元．
根据题意得：，
解得：，
答：干粉灭火器的单价为200元，消防自救呼吸器的单价为40元．
44．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.5单位铁质．
（1）依据题意，填写下表：
项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品
其中所含蛋白质（单位） 0.6x y 0.6x+y
其中所含铁质（单位） 0.8x 0.5y 0.8x+0.5y
（2）如果运动员每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？
【思路点拔】（1）根据每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.5单位铁质．分别列出代数式即可；
（2）设每餐甲原料x克，乙原料y克恰好满足运动员的需要，根据运动员每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意填表如下：
项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品
其中所含蛋白质（单位） 0.6x y 0.6x+y
其中所含铁质（单位） 0.8x 0.5y 0.8x+0.5y
故答案为：0.6x，y，0.6x+y，0.8x，0.5y，0.8x+0.5y；
（2）设每餐甲原料x克，乙原料y克恰好满足运动员的需要，
根据题意得：，
解得：．
答：每餐甲原料45克，乙原料8克时恰好满足运动员的需要．
45．“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
【思路点拔】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y克．根据三片国槐树叶与两片银杏树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克．
由题意得：，
解得：，
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．
46．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．
（1）依据题意，填写下表．
项目 甲原料x/克 乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位 0.4x y
其中所含铁质/单位 0.8x 0.8y
（2）如果一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，那么每餐含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需要？
【思路点拔】（1）根据每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．分别列出代数式即可；
（2）设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，根据一个运动员每餐需要32单位蛋自质和40单位铁质，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意填表如下：
项目 甲原料x/克 乙原料y/克
其中所含蛋白质/单位 0.4x y
其中所含铁质/单位 0.8x 0.8y
故答案为：0.4x，y，0.8x，0.8y；
（2）设每餐含甲原料x克，乙原料y克恰好能满足运动员的需要，
根据题意得：，
解得：，
答：每餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足运动员的需要．
47．2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元：第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？
【思路点拔】设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元：第二个旅游团有40名成人和50名儿童，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，
由题意得：，
解得：，
答：成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元．
48．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？
【思路点拔】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
49．第19届杭州亚运会于2023年10月8日隆重闭幕，本届亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人．某经销商购进了一批亚运会吉祥物，其中“琮琮”和“莲莲”共200个，花费8800元，已知“琮琮”和“莲莲”的进货价分别为50元/个和40元/个．该经销商购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
【思路点拔】设该经销商购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，根据“琮琮”和“莲莲”共200个，花费8800元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该经销商购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，
由题意得：，
解得：，
答：该经销商购进“琮琮”80个，“莲莲”120个．
50．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计送货吨数（单位：吨） 31 70
（1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？
（2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？
【思路点拔】（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨，根据过去两次租用这两种货车的辆数及累计运货吨数，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲货车的载质量为8吨，乙货车的载质量为5吨；
（2）货主应付运费为：30×（3×8+5×5）＝30×49＝1470（元），
答：货主这次应付运费1470元．
51．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
琮琮 莲莲
进价（元/个） 60 70
售价（元/个） 80 100
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
【思路点拔】（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，根据某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）分别求出周老师在甲、乙商店购买需要的费用，再比较即可．
【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，
由题意等：，
解得：，
答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）周老师在甲商店购买需要的费用为：20×80×0.8+30×100×0.8＝3680（元），
在乙商店购买需要的费用为：20×80+30×100﹣700＝3900（元），
∵3680＜3900，
∴周老师会选择到甲商店买更优惠．
52．某工厂生产A，B两种产品，每块甲种板材可生产3件A产品和1件B产品；每块乙种板材可生产2件A产品和2件B产品，现要生产46件A产品，26件B产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？
【思路点拔】设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件A产品和1件B产品；每块乙种板材可生产2件A产品和2件B产品，根据要生产46件A产品，26件B产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可．
【解答】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，
根据题意得，
解得，
∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块．
53．某加工车间共有20名工人，现要加工1800个甲种零件，1000个乙种零件，已知每人每天加工甲种零件30个或乙种零件50个（每人只能加工一种零件），怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务？
【思路点拔】设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据“生产甲种零件人数+生产乙种零件人数、生产甲种零件的时间＝生产乙种零件的时间”列方程组求解可得．
【解答】解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，
根据题意，得：，
解得：，
答：应安排15人生产甲种零件，5人生产乙种零件才能确保同时完成两种零件的加工任务．
54．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案 20 10 1100
方案二 30 15 1650
（1）根据表中的数据，判断方案二的金额是 1650 元；
（2）
①若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②若牛奶和咖啡每箱的原价不变，超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有多少箱？
【思路点拔】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y＝1100，即可求解；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y＝1100，
∴30x+15y＝1.5（20x+10y）＝1.5×1100＝1650（元），
故答案为：1650；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1200，
整理得：27a+20b＝1200，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∵a＞b，
∴a＝40，b＝6，
即此次按原价采购的咖啡有6箱．
55．【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子．
操作：如图甲所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝40厘米，AD＝60厘米，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子；如图乙所示，在长方体的一个侧面EFGH上，分别在边EH，FG上取P，Q两点，测量得：∠1＝40°，∠2＝57°，∠3＝50°，已知侧面EFGH四个角都是直角．
计算：（1）求这个盒子的高和底面正方形的边长；
（2）求∠4的度数．
【思路点拔】（1）设这个盒子的高为x厘米，底面正方形的边长为y厘米，根据制作有盖长方体盒子的图示，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求出∠PHQ＝50°，则∠3＝∠PHQ，再证明PF∥HQ，然后由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）设这个盒子的高为x厘米，底面正方形的边长为y厘米，
由题意得：，
解得：，
答：这个盒子的高为10厘米，底面正方形的边长为20厘米；
（2）∵四边形EFGH是长方形，
∴四个角都是直角，
∴∠PHQ＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∵∠3＝50°，
∴∠3＝∠PHQ，
∴PF∥HQ，
∴∠4＝∠2＝57°．
56．某学校后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 40 20 ■
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据上表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 2200 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元．
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因包装有污渍进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有多少箱？
【思路点拔】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据方案一，列出20x+10y＝1100，即可求解；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据方案一和购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，根据此次采购共花费了1200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y＝1100，
∴40x+20y＝2（20x+10y）＝2×1100＝2200（元），
故答案为：2200；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1200，
整理得：27a+20b＝1200，
∵a、b均为正整数，
∴或，
∵a＞b，
∴a＝40，b＝6，
答：此次按原价采购的咖啡有6箱．
57．由于卡房独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车戟满洋芋一次可运走11吨，现有洋芋31吨，计划同时租用A型车α辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
【思路点拔】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）根据一次运送31吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；
【解答】解：（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：，
答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝31，
∴a，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
58．养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg，一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg，饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
【思路点拔】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可做出判断．
【解答】解：设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，
根据题意得：，
解得：，
所以每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，
则每头大牛需要的饲料估计正确，每头小牛需要的饲料估计不正确．
59．连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【思路点拔】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装88套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共85人；②分别单独购买服装，一共应付6300元，列方程组即可求解；
（3）利用甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
【解答】解：（1）买85套所花费为：85×60＝5100（元），
最多可以节省：6300﹣5100＝1200（元）；
（2）①甲乐团的人数≤≥46人，
解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据题意，得：
，
解得：；
②甲乐团的人数≥70人，设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据题意，得：
，
解得：（不合题意，舍去）．
答：甲、乙两个乐团各有50名和35名学生；
（3）由题意，得5a+3b＝65，
变形，得a＝13b，
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，得：
或，
所以共有两种方案：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人．
60．新新商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）．
商品 价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于36000元，则B种商品是打几折销售的？
【思路点拔】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于36000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：，
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，
依题意，得：（1350﹣1200）×200+（12001000）×150×2＝36000，
解得：m＝8.5．
答：B种商品是打8.5折销售的．
