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《平面直角系动点运动问题》
一．解答题（共37小题）
1．如图，四边形ABCD是长方形，边AB在x轴上，AD⊥x轴．已知点A坐标为（2，0），点C坐标为（6，3）．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AD﹣DC向终点C运动，设点P的运动时间为x（s）．
（1）点D坐标为 ；
（2）连接PC，当直线PC将长方形ABCD的面积分为1：2的两部分时，求x的值；
（3）连接OP，OD，直接写出三角形OPD的面积为3时，点P的坐标．
2．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），a、b满足|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0，连接AB．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）如图1，点C是线段AB上一点，若AC＝2BC，求点C坐标．小军想到：可连接OC，此时将三角形OAB分成两个小三角形，而三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，从而求出点C坐标，请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程；
（3）如图2，将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN（点A的对应点为M），线段MN与y轴交于点P，点E（0，t）是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出t的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，点A和点B在坐标轴上，其中点A（0，a），B（b，0）满足|a﹣3|0，将线段AB平移至线段CD处，且点A的对应点为点C，点B的对应点为点D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图1，若点C的坐标为（2，m），且△ABC的面积等于15，求点C的坐标．
（3）如图2，若平移后C，D两点在坐标轴上，P为线段AB上一动点（不包括点A和点B），连接OP，PQ平分∠BPO，∠BCQ＝2∠QCD，请写出∠COP，∠OPQ，∠Q之间的数量关系，并说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标．
（2）P是x轴上（除去B点）的动点．
①连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，求符合条件的P点坐标．
②如图2，Q是线段BD上一定点，连接PQ，请直接写出∠BPQ+∠PQB与∠CDB的数量关系．
5．如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D．
（1）求三角形AOB的面积；
（2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标；
（3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积为S1，三角形OAE的面积为S2，S＝S1﹣S2，当4＜S＜7时，求m的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，原点O（0，0），点A（﹣2，0），点B（0，4），连接AB并延长到点C（a，b），且a，b满足|2a+b﹣8|+（a﹣2b+11）2＝0．将线段AC沿x轴向右平移得到线段MN，平移后点A，C的对应点分别为M，N，且点M（m，0）．记∠ABO为α，∠OMN为β．
（Ⅰ）直接写出点C的坐标： ；
（Ⅱ）①如图1，当点M在线段AO（不包含线段的端点A，O）上时，直接写出：α+β＝ （度）；
②如图2，连接BM，BN，当三角形BMN的面积为时，求m的值，并求出此时α与β的数量关系；
（Ⅲ）作直线CN，在直线CN上有动点P（点P不与C重合），点P的横坐标为n，连接BP，AP．若三角形PAB的面积不大于6，直接写出n的取值范围．
7．已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动．
（1）如图．当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF⊥OE．
①填空：若∠OPD＝60°，则∠AOE＝ ；
②设∠AOE＝α，则 ．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为（x，y）．①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
8．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足|b﹣3|＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a＝ ，b＝ ；点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的数量关系；
（3）如图2，若点E是射线OB上一动点，连接CE，分别作∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线OF与CI，两线所在的直线交于F点，试问当点E在射线OB（点E不与O、B重合）上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．
9．如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动．
（1）直接写出：运动1秒时，点P的坐标为 ；
运动t秒时，点P的坐标为 ；（用含t的式子表示）
（2）若点P在第三象限，且S△ABP＝8，求点P的坐标；
（3）如图2，如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值．
10．如图，三角形ABO的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（2，4）．
（1）求三角形OAB的面积；
（2）若O，B两点的位置不变，点M在x轴上，则点M在什么位置时，三角形OBM的面积是三角形OAB的面积的2倍？
（3）若O，A两点的位置不变，点N由点B向上或向下平移得到，则点N在什么位置时，三角形OAN的面积是三角形OAB的面积的2倍？
11．已知△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，得到点A1、B1、C1，在图中描出点A1、B1、C1，并画出△A1B1C1．
（2）判断△ABC与△A1B1C1的位置关系 ．
（3）若M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是 ．
（4）在y轴上找一点P，使，则点P的坐标 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A和点C的坐标分别为（﹣4，2），（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于点M，AB交x轴于点N．
（1）直接写出点B的坐标 ；∠OBC的度数为 ．
（2）若动点P从点A出发，沿AB向点B运动，在点P运动过程中，连接MP，OP，试探究∠AMP，∠MPO，∠PON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若动点P从点A出发，沿AB→BC→CD以每秒0.25个单位长度的速度向终点D匀速运动，设点P的运动时间为t秒，当△AMP的面积大于长方形ABCD面积的时，直接写出时间t的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A（a，0），B（b，0）在坐标轴上，C的纵坐标是2，且a，b满足式子：
（1）求出点A、B、C的坐标．
（2）连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
（3）若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD和∠EOQ之间的数量关系，并证明．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，﹣1），B（﹣3，2），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C恰好落在x轴的正半轴上，设点C的坐标为（k，0），点B的对应点D在第一象限．
（1）求点D的坐标（用含k的式子表示）；
（2）连接BD，BC，如图2，若三角形BCD的面积为8，求k的值；
（3）连接AD，如图3，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，交于点P，试探究∠BAD，∠BCD和∠BPD之间的等量关系，并说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．现同时将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出C，D两点的坐标为：C ，D ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，Q是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接PQ，PO，当点P在线段AC上移动时（不与点A，C重合），请找出∠DOP，∠QPO，∠BQP的数量关系，并证明你的结论；
（3）在坐标轴上是否存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）、B（4，2），将线段AB平移至线段CD，使点B的对应点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限．
（1）若点D的坐标为（0，k），求点C的坐标（用含k的式子表示）．
（2）连接AC、BC，若三角形ABC的面积为9，求k的值．
（3）如图2，分别作∠BAD和∠BCD的平分线，它们交于点P请写出∠B、∠P和∠ADC之间的一个等量关系，并说明理由．
17．如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足0．
（1）直接写出点A，点C的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，
①说明GO∥AC的理由；
②直接写出∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．
（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；
（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；
（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接AC，BD，P是x轴上一动点．
（1）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；AC与BD的关系是 ；
（2）当三角形PAC的面积是三角形PBD的面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
20．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、点B分别是x轴和y轴正半轴上的两点，已知OA＝4，点B的纵坐标是 的整数部分．
（1）A点的坐标为 ，B点的坐标为 ；
（2）将线段AB平移得到线段CD，点A对应点C，点B对应点D，
①若点C落在坐标轴的负半轴上，且三角形ABC的面积为9，求此时点D的坐标；
②当点C到x轴的距离为4，点D到y轴的距离为3，请直接写出此时点C和点D的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连结AC，BD，点P在x轴上．
（1）写出点C、点D的坐标；
（2）若S△PAC＝3S△PBD，求P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，画图并判断α、β、θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足|a+b|+（a﹣b+6）2＝0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
（1）求出点A，B的坐标；
（2）如图2，若DB∥AC，∠BAC＝a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中有一点A（﹣1，0），B，C为动点，以点A为直角顶点作等腰直角△ABC，其中B，C分别在第一、二象限，设B（m，n），C（a，b）．
（1）若B（2，n），C（﹣5，b），求B，C的坐标；
（2）若B的横坐标不变，即B（2，n），当n的值发生变化时，a+n的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
24．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
25．已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点．
（1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A；
（2）直接写出线段AB，CD之间的关系；
（3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点F是直线BD上一个动点，连接FC、FO，当点F在直线BD上运动时，请直接写出∠OFC与∠FCD，∠FOB的数量关系．
28．如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）20．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC＝S△MOD，求点D的坐标；
（3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段OA与OB的长满足等式．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC，则△ABC的面积为 ；
（3）若点D在线段AB上，且AD＝2BD，点Q在x轴上且S△ADQ＝10，请直接写出点D的坐标 ，点Q的坐标 ．
（数学活动小组的同学发现：可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，△OAD的面积是△OAB面积的，利用其面积即可求出点D坐标．）
30．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足|b﹣2|＝0．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从点C出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向上匀速移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒，当S△ODQ＝2S△ODP，此时是否存在点M（m，6）使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
32．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD．
（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），直接写出点D的坐标；
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
33．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上且点A（﹣4，0）点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形PCD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，当△ACP的面积为时，求点P的坐标．
34．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
36．如图1，点A（a，0）、B（b，0），其中a、b满足（3a+b）20，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
（1）连接AD交OC于一点F，求OF；
（2）如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问S△GMD﹣S△OGN的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
37．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 ；A点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）如图2，过O作OG∥AC，作∠AOF＝∠AOG交AC于点F，点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
《平面直角系动点运动问题》
一．解答题（共37小题）
1．如图，四边形ABCD是长方形，边AB在x轴上，AD⊥x轴．已知点A坐标为（2，0），点C坐标为（6，3）．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AD﹣DC向终点C运动，设点P的运动时间为x（s）．
（1）点D坐标为 （2，3） ；
（2）连接PC，当直线PC将长方形ABCD的面积分为1：2的两部分时，求x的值；
（3）连接OP，OD，直接写出三角形OPD的面积为3时，点P的坐标．
【思路点拔】（1）利用矩形的性质求出OA，AD，可得结论；
（2）分两种情形：如图1中，当点P在线段AB上时，如图2中，当点P在线段AD上时，分别构建方程求解；
（3）当点P与A重合时，△POD的面积为3，此时P（2，0），过点A作AP′∥OD交CD于点P′，此时OA＝DP′＝2，△ODP′的面积为3，求出P′坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，A（2，0），C（6，3），
∴OA＝2，BC＝AD＝3，
∴D（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）如图1中，当点P在线段AB上时，
由题意，S△PBCS矩形ABCD，
∴2x×33×4，
∴x．
如图2中，当点P在线段AD上时，
由题意，S△DCPS矩形ABCD，
∴（7﹣2x）×43×4，
∴x．
综上所述，满足条件的x的值为或；
（3）如图3中，
当点P与A重合时，△POD的面积为3，此时P（2，0），
过点A作AP′∥OD交CD于点P′，此时OA＝DP′＝2，△ODP′的面积为3，
∴P′（4，3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，0）或（4，3）．
2．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），a、b满足|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0，连接AB．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）如图1，点C是线段AB上一点，若AC＝2BC，求点C坐标．小军想到：可连接OC，此时将三角形OAB分成两个小三角形，而三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，从而求出点C坐标，请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程；
（3）如图2，将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN（点A的对应点为M），线段MN与y轴交于点P，点E（0，t）是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出t的取值范围．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质可得关于a，b的二元一次方程组，解此方程组即可求解；
（2）易求得S△OAB＝9，设点C（m，n），由小军的思路可知，S△OAC，以此列出方程求出m，n即可；
（3）利用平移的性质可求出M（4，﹣5），N（﹣2，﹣2），以及点C平后的对应点为点P（0，﹣3），利用两点间的距离公式求得PE＝|t+3|，于是S△MNE＝S△PEN+S△PEM，即3，代入计算即可求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0，
∴，
解得：，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）∵A（6，0），B（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
∴S△OAB9，
设点C（m，n），
∵AC＝2BC，
∴，即，
S△OAC，即，
∴，
6，
解得：m＝2，n＝2，
∴C（2，2）；
（3）如图，
∵将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN，
∴M（4，﹣5），N（﹣2，﹣2），
过M作MH⊥x轴于点H，过N作NG⊥x轴于点G，
则OG＝NG＝2，OH＝4，MH＝5，
∴S△MON＝S梯形MNGH﹣S△NOG﹣S△MOH2×29，
同时S△MON＝S△MOP+S△NOPOP×（xM﹣xN）OP×6＝9，
∴OP＝3，
∴点P（0，﹣3），
∵点E（0，t），
∴PE＝|t﹣（﹣3）|＝|t+3|，
∵S△MNE＝S△PEN+S△PEM，即，
∴S△MNE3|t+3|，
∵三角形MNE的面积小于3，
∴3|t+3|＜3，
解得：﹣4＜t＜﹣2，
∵当t＝﹣3时，△MNE不存在，
∴﹣4＜t＜﹣2且t≠﹣3．
3．在平面直角坐标系中，点A和点B在坐标轴上，其中点A（0，a），B（b，0）满足|a﹣3|0，将线段AB平移至线段CD处，且点A的对应点为点C，点B的对应点为点D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图1，若点C的坐标为（2，m），且△ABC的面积等于15，求点C的坐标．
（3）如图2，若平移后C，D两点在坐标轴上，P为线段AB上一动点（不包括点A和点B），连接OP，PQ平分∠BPO，∠BCQ＝2∠QCD，请写出∠COP，∠OPQ，∠Q之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．根据S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN构建方程求解即可．
（3）过点O作OM∥AB，由平行线的性质得出∠COP＝∠POM+∠COM＝∠BPO+∠DCO，∠Q＝∠BPQ+∠DCQ，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|0，
又∵|a﹣3|≥0，0，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴A（0，3），B（﹣4，0）．
（2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．
∵S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN，
∴15 （3+3﹣m） （4+2）3×42×（3﹣m），
解得m＝﹣3，
∴C（2，﹣3）．
（3）∠COP＝3∠Q﹣∠OPQ．
理由如下：如图2，过点O作OM∥AB，
∴∠BPO＝∠POM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠DCO＝∠OCM，
∴∠COP＝∠POM+∠COM＝∠BPO+∠DCO，
同理可得∠Q＝∠BPQ+∠DCQ，
∵PQ平分∠BPO，
∴∠BPO＝2∠OPQ＝2∠BPQ，
∴∠COP＝2∠BPQ+∠DCQ+∠BCQ，
∵∠BCQ＝2∠DCQ，
∴∠COP＝2∠BPQ+3∠DCQ
＝3∠BPQ+3∠DCQ﹣∠OPQ
＝3∠Q﹣∠OPQ．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标．
（2）P是x轴上（除去B点）的动点．
①连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，求符合条件的P点坐标．
②如图2，Q是线段BD上一定点，连接PQ，请直接写出∠BPQ+∠PQB与∠CDB的数量关系．
【思路点拔】（1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可；
（2）①设P点坐标为（m，0），由三角形面积公式可得出答案；
②分两种情况，如图1，当点P在点B左侧（m＜4）时，过点Q作QE∥AB，则∠EQP＝∠BPQ．由平行线的性质可得出∠BPQ+∠PQB＝∠CDB．如图2，当点P在点B右侧（m＞4）时，过点Q作QF∥AB，则∠PQF＝∠BPQ，∠BQF＝∠ABD．由平行线的性质可得出∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°．
【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（4，0），将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到对应点为C，D，
∴C（0，3），D（3，3）．
（2）①∵AB＝3，CO＝3，
∴S△ABCAB CO3×3．
设P点坐标为（m，0），
∴3×|4﹣m|2．
解得m＝﹣2或m＝10．
∴P点坐标为（﹣2，0）或（10，0）．
②∠BPQ+∠PQB＝∠CDB；∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°．
如图1，当点P在点B左侧（m＜4）时，过点Q作QE∥AB，则∠EQP＝∠BPQ．
∵C（0，3），D（3，3），
∴AB∥CD．
∴CD∥EQ．
∴∠EQB＝∠CDB．
∴∠BPQ+∠PQB＝∠CDB．
如图2，当点P在点B右侧（m＞4）时，过点Q作QF∥AB，
则∠PQF＝∠BPQ，∠BQF＝∠ABD．
∵AB∥CD，
∴∠CDB+∠ABD＝180°．
∴∠BQF+∠CDB＝180°．
∴∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°．
5．如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D．
（1）求三角形AOB的面积；
（2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标；
（3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积为S1，三角形OAE的面积为S2，S＝S1﹣S2，当4＜S＜7时，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）求出OA，OB，即可解答；
（2）根据△BCD与△AOD面积相等，列出式子，求出m，n，即可解答；
（3）根据题意求得，分情况讨论：①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2； ②当点E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2；根据题意列式求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，0），
∴OA＝4，
又∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴三角形AOB的面积为2×4÷2＝4；
（2）∵△BCD与△AOD面积相等，
∴S△BCD+S△BOD＝S△BOD+S△AOD＝S△AOB＝4，
∴，
∴m＝4，
同理S△AOC＝S△AOD+S△ACD＝S△ABC＝6，
∴，
∴n＝3，
∴点C的坐标为（4，3）；
（3）∵A（4，0），B（0，2），C（m，n），
∴E（m+4，n﹣2），
∵点C在第一象限，
∴，
∴，
∵S△OBC+S△OAC＝S△OAB+S△ABC，
∴m+2n＝4+6＝10，
即，
①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2，如图，
∴，
又∵，
∴，
∴S＝S1﹣S2＝m﹣（6﹣m）＝2m﹣6，
∵4＜S＜7，
∴4＜2m﹣6＜7，
∴5＜m＜6.5，
又∵n＞2，
∴，
∴m＜6，
∴5＜m＜6；
②当点E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2，如图，
又∵点E（m，n）在第一象限，
∴n＞0，
∴0＜5﹣1m＜2，
解得6＜m＜10，
∴，
又∵，
∴S△OAE＝m﹣6，
∴S＝S1﹣S2＝m﹣（m﹣6）＝6，符合4＜S＜7，
∴6＜m＜10，
综上所述，5＜m＜6或6＜m＜10，即5＜m＜10且m≠6．
6．在平面直角坐标系中，原点O（0，0），点A（﹣2，0），点B（0，4），连接AB并延长到点C（a，b），且a，b满足|2a+b﹣8|+（a﹣2b+11）2＝0．将线段AC沿x轴向右平移得到线段MN，平移后点A，C的对应点分别为M，N，且点M（m，0）．记∠ABO为α，∠OMN为β．
（Ⅰ）直接写出点C的坐标： （1，6） ；
（Ⅱ）①如图1，当点M在线段AO（不包含线段的端点A，O）上时，直接写出：α+β＝ 90 （度）；
②如图2，连接BM，BN，当三角形BMN的面积为时，求m的值，并求出此时α与β的数量关系；
（Ⅲ）作直线CN，在直线CN上有动点P（点P不与C重合），点P的横坐标为n，连接BP，AP．若三角形PAB的面积不大于6，直接写出n的取值范围．
【思路点拔】（Ⅰ）根据非负数的性质即可求解；
（Ⅱ）①由平移可得AC∥MN，得到∠OAB＝∠OMN，结合∠OAB+∠ABO＝90°，即可求解；
②连接CN，并延长交y轴于点D，由A（﹣2，0），M（m，0）可得AM＝m+2，OM＝m，结合平移的性质可得CN＝AM＝m+2，CN∥AM，进而得到CD＝1，OD＝6，DN＝3+m，OB＝4，BD＝2，然后根据S△BMN＝S梯形OMND﹣S△EDN﹣S△BOM列方程即可求出m，由AC∥MN可得∠OAB+∠OMN＝180°，结合∠OAB+∠ABO＝90°，可得到α与β的数量关系；
（Ⅲ）分为：当n＞1时，过点P作PE⊥x轴于点E，根据S△ABP＝S梯形AEPC﹣S△BCP﹣S△AEP≤6求解；当n＜1时，，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点C（a，b），且a，b满足|2a+b﹣8|+（a﹣2b+11）2＝0，
∴，
解得，
∴C（1，6），
故答案为：（1，6）；
（Ⅱ）①由平移可得AC∥MN，
∴∠OAB＝∠OMN，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OMN+∠ABO＝90°，
即α+β＝90°，
故答案为：90；
②如图，连接CN，并延长交y轴于点D，
∵A（﹣2，0），M（m，0），
∴AM＝m+2，OM＝m，
由平移可得CN＝AM＝m+2，CN∥AM，
∴OD⊥DN，
∵C（1，6），
∴D（0，6），
∴CD＝1，OD＝6，
∴DN＝CD+CN＝1+2+m＝3+m，
∵B（0，4），
∴OB＝4，
∴BD＝OD﹣OB＝6﹣4＝2，
∴S梯形OMND6m+9，，，
∴S△BMN＝S梯形OMND﹣S△BDN﹣S△BOM＝6m+9﹣（3+m）﹣2m＝3m+6，
解得，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝90°﹣∠ABO，
∵AC∥MN，
∴∠OAB+∠OMN＝180°，
即90°﹣∠ABO+∠OMN＝180°，
∴∠OMN﹣∠ABO＝90°，
即β﹣α＝90°；
（Ⅲ）当n＞1时，如图，过点P作PE⊥x轴于点E，
根据题意得P（n，6），
∴E（n，0），PE＝6，AE＝n+2，CP＝n﹣1，
∴S梯形AEPC6n+3，，，
∴S△ABP＝S梯形AEPC﹣S△BCP﹣S△AEP＝6n+3﹣（n﹣1）﹣（3n+6）＝2n﹣2≤6，
解得n≤4，
∴1＜n≤4；
当n＜1时，此时CP＝1﹣n，
则S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP，
解得n≥﹣2，
∴﹣2≤n＜1，
综上所述，n的取值范围是﹣2≤n＜1和1＜n≤4．
7．已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动．
（1）如图．当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF⊥OE．
①填空：若∠OPD＝60°，则∠AOE＝ 60° ；
②设∠AOE＝α，则 2 ．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为（x，y）．①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
【思路点拔】（1）①由平行线的性质得∠AOP＝120°，再由角平分线定义得∠AOE＝60°；
②由三角形的外角性质和角平分线定义得∠EOP＝45°∠DOP，则∠DOE＝45°∠DOP，再由直角三角形的性质得∠OPD＝90°﹣∠DOP，即可得出结论；
（2）①经过t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），再分两种情况，点P在x轴上和点P在y轴上，分别求出t的值，即可解决问题；
②由①可知，x＝﹣4+t，y＝﹣6+2t，则t＝x+4，把t＝x+4代入y＝﹣6+2t即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵直线m∥x轴，∠OPD＝60°，
∴∠AOP+∠OPD＝180°，
∴∠AOP＝180°﹣60°＝120°，
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOE∠AOP＝60°，
故答案为：60°；
②∵∠AOP＝∠AOD+∠DOP＝90°+∠DOP，OE平分∠AOP，
∴∠EOP∠AOP（90°+∠DOP）＝45°∠DOP，
∴∠DOE＝∠EOP﹣∠DOP＝45°∠DOP﹣∠DOP＝45°∠DOP，
∵∠OPD＝90°﹣∠DOP，
∴2，
故答案为：2；
（2）①在坐标轴上存在满足条件的点P，理由如下：
由题意可知，经过t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），
a、若点P在x轴上，则﹣6+2t＝0，
解得：t＝3，
∴p（﹣1，0），
∴AP＝1，OB＝4，
∴S△ABPAP OB1×4＝2≠6，不合题意；
b、若点P在y轴上，则﹣4+t＝0，
解得：t＝4，
∴P（0，2），
∴BP＝6，OA＝2，
∴S△ABPBP OA6×2＝6，符合题意；
综上所述，在坐标轴上存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，点P的坐标为（0，2）；
②由①可知，x＝﹣4+t，y＝﹣6+2t，
∴t＝x+4，
把t＝x+4代入y＝﹣6+2t得：y＝﹣6+2（x+4）＝2x+2，
即x和y的关系式为y＝2x+2．
8．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足|b﹣3|＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a＝ ﹣4 ，b＝ 3 ；点C坐标为 （0，﹣3） ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的数量关系；
（3）如图2，若点E是射线OB上一动点，连接CE，分别作∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线OF与CI，两线所在的直线交于F点，试问当点E在射线OB（点E不与O、B重合）上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值．
【思路点拔】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质得a+4＝0，b﹣3＝0，则a＝﹣4，b＝3，A（﹣4，3），再由平移的性质得：OC＝AB＝3，则C（0，﹣3）；
（2）连接OD，过D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，由△OBC的面积＝△OCD的面积+△OBD的面积，即可求解；
（3）由平行线的性质得∠AOB＝∠CBO＝∠CBE，再由角平分线定义得∠EOF∠EOH＝90°∠CBE，∠FCB＝∠GCI＝90°∠BCE，则∠FCE＝∠FCB+∠BCE＝90°∠BCE，然后由三角形内角和定理和三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|b﹣3|＝0，
∴a+4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴A（﹣4，3），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝3，OB＝4，
由平移的性质得：OC＝AB＝3，
∴C（0，﹣3），
故答案为：﹣4，3，（0，﹣3）；
（2）连接OD，过D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1所示：
∵点D（m，n）在线段BC上，
∴DN＝﹣m，DM＝﹣n，
∵△OBC的面积＝△OCD的面积+△OBD的面积，
∴OB×OCOC×DNOB×DM，
∴4×3＝﹣3m﹣4n，
∴3m+4n＝﹣12，
即m、n满足的数量关系为3m+4n＝﹣12；
（3）的值不发生变化，值为，理由如下：
由平移的性质得OC∥AB，OC＝AB，
∴∠AOB＝∠CBO＝∠CBE，
∵∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线为OF与CI，
∴∠EOF∠EOH（180°﹣∠AOB）（180°﹣∠CBE）＝90°∠CBE，
∠FCB＝∠GCI（180°﹣∠BCE）＝90°∠BCE，
∴∠FCE＝∠FCB+∠BCE＝90°∠BCE+∠BCE＝90°∠BCE，
设OF与CE交于点H，如图2所示：
则∠EHO＝∠FOC＝180°﹣∠OFC﹣∠FCE＝180°﹣∠OFC﹣（90°∠BCE）＝90°﹣∠OFC∠BCE，
∵∠OEC+EOF+∠EHO＝180°，∠OEC＝∠CBE+∠BCE，
∴∠OEC+90°∠CBE+90°﹣∠OFC∠BCE＝180°，
∴∠OEC﹣∠OFC（∠CBE+∠BCE）＝0，
即∠OEC﹣∠OFC∠OEC＝0，
∴∠OFC∠OEC，
∴．
9．如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动．
（1）直接写出：运动1秒时，点P的坐标为 （﹣3，﹣4） ；
运动t秒时，点P的坐标为 （﹣4+t，﹣6+2t） ；（用含t的式子表示）
（2）若点P在第三象限，且S△ABP＝8，求点P的坐标；
（3）如图2，如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值．
【思路点拔】（1）运动1秒时，点P的坐标为（﹣4+1，﹣6+2），即P（﹣3，﹣4），运动t秒时，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），
（2）连接OP，由S△ABP＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB＝8，得2×（6﹣2t）4×（4﹣t）2×4＝8，解得t，即可得出结论；
（3）由平移的性质和规律即可得出结论．
【解答】解：（1）运动1秒时，点P的坐标为（﹣4+1，﹣6+2），
即P（﹣3，﹣4）；
运动t秒时，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），
故答案为：（﹣3，﹣4），（﹣4+t，﹣6+2t）；
（2）如图1﹣1，连接OP，
∵点A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵S△ABP＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB＝8，
∴2×（6﹣2t）4×（4﹣t）2×4＝8，
解得：t，
∴﹣4+t，﹣6+2t＝﹣5，
∴点P的坐标为（，﹣5）；
（3）如图2，设直线m与y轴交于点D，
∵C（﹣4，﹣6），
∴D（0，﹣6），
∴将直线AB沿y轴负半轴向下平移2个单位经过点D，
∵C（﹣4，﹣6），点A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C时，n＝2+2×4＝10，
即n的值为10．
10．如图，三角形ABO的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（2，4）．
（1）求三角形OAB的面积；
（2）若O，B两点的位置不变，点M在x轴上，则点M在什么位置时，三角形OBM的面积是三角形OAB的面积的2倍？
（3）若O，A两点的位置不变，点N由点B向上或向下平移得到，则点N在什么位置时，三角形OAN的面积是三角形OAB的面积的2倍？
【思路点拔】（1）求出OA＝5，再由三角形面积公式即可求解；
（2）由三角形面积关系求出OM＝10，分两种情况即可求解；
（3）设N的坐标为（2，y），由三角形面积关系求出y＝±8，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（5，0），
∴OA＝5，
∵B（2，4），
∴三角形OAB的面积5×4＝10；
（2）∵点M在x轴上，三角形OBM的面积是三角形OAB的面积的2倍，
∴OM×4＝2×10，
解得：OM＝10，
当M在x轴正半轴时，M（10，0）；
当M在x轴负半轴时，M（﹣10，0）；
∴点M的坐标为（10，0）或（﹣10，0）时，三角形OBM的面积是三角形OAB的面积的2倍；
（3）∵点N由点B向上或向下平移得到，
∴设N的坐标为（2，y），
∵三角形OAN的面积是三角形OAB的面积的2倍，
∴5×\y|＝2×10，
解得：y＝±8，
∴点N的坐标为（2，8）或（2，﹣8）．
11．已知△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，得到点A1、B1、C1，在图中描出点A1、B1、C1，并画出△A1B1C1．
（2）判断△ABC与△A1B1C1的位置关系 关于y轴对称 ．
（3）若M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是 （﹣x，y） ．
（4）在y轴上找一点P，使，则点P的坐标 （0，）或（0，） ．
【思路点拔】（1）由题意描出点A1、B1、C1，画出△A1B1C1即可；
（2）由纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，即可得出关于y轴对称；
（3）由关于y轴对称，即可得出答案；
（4）先求出S△ABC，再设AP＝x，由S△APC＝2x，求出x，然后分两种情况：①当点P在点A的下方时，当点P在点A的上方时，分别求出OP，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，描出点A1、B1、C1，画出△A1B1C1；
（2）△ABC与△A1B1C1的位置关系是关于y轴对称，
故答案为：关于y轴对称；
（3）由（2）得：△ABC与△A1B1C1的位置关系是关于y轴对称，
∴M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是（﹣x，y），
故答案为：（﹣x，y）；
（4）∵S△ABC＝3×42×41×22×3＝4，
∴S△ABC4，
设AP＝x，
S△APC4×x＝2x，
∴2x，
∴x，
①当点P在点A的下方时，
OP＝AP﹣OA1，
∴P（0，）；
当点P在点A的上方时，
OP＝AP+OA1，
∴P（0，）；
综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，），
故答案为：（0，）或（0，）．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A和点C的坐标分别为（﹣4，2），（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于点M，AB交x轴于点N．
（1）直接写出点B的坐标 （﹣4，﹣4） ；∠OBC的度数为 45° ．
（2）若动点P从点A出发，沿AB向点B运动，在点P运动过程中，连接MP，OP，试探究∠AMP，∠MPO，∠PON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若动点P从点A出发，沿AB→BC→CD以每秒0.25个单位长度的速度向终点D匀速运动，设点P的运动时间为t秒，当△AMP的面积大于长方形ABCD面积的时，直接写出时间t的取值范围．
【思路点拔】（1）利用矩形的性质求出点B的坐标即可解决问题；
（2）分两种情形：点P在线段AN上，点P在线段BN上，分解求解即可；
（3）求出两种特殊情形t的值，可得结论．
【解答】解：（1）∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），
而四边形ABCD为矩形，
∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）；
∴∠OBC＝45°，
故答案为：（﹣4，﹣4），45°；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，
∴AM∥PQ∥ON，
∴∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON，
∴∠QPM+∠QPO＝∠AMP+∠PON，
即∠MPO＝∠AMP+∠PON；
当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON；
（3）当点P在AB上，S△APMS四边形ABCD时，
∵AM＝4，APt，
∴S△AMP4tt，
∴t＝3010，
∴t＝20，
∴AP20＝5，
∵AN＝2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．
当点P在线段CD上，S△APMS四边形ABCD时，可得P（1，﹣3），
此时t48，
∴满足条件的t的值为20＜t＜48．
13．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A（a，0），B（b，0）在坐标轴上，C的纵坐标是2，且a，b满足式子：
（1）求出点A、B、C的坐标．
（2）连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
（3）若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD和∠EOQ之间的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质得a+b﹣2＝0，b﹣4＝0，然后解一次方程即可得到a与b的值即可解决问题．
（2）设M（0，t），根据三角形面积公式可计算出S△ABC＝5，由于△COM的面积＝△ABC的面积，构建方程求出t即可得到M点坐标；
（3）如图2，由OE平分∠AOP得到∠AOE＝∠POE＝∠1+∠2，根据垂直的定义得到∠1+∠2+∠3＝90°，∠4+∠AOE＝90°，于是得到∠3＝∠4，接着证明CD∥AB，利用平行线的性质得∠OPD＝∠POB＝2∠3，
然后利用∠1+∠2+∠3＝90°，∠2+∠3+∠4＝90°可得∠1＝∠3，则可得结论∠OPD＝2∠EOQ．
【解答】解：（1）∵
又∵0，|b﹣4|≥0，
∴a+b﹣2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴A（﹣2，0）．B（4，0），
∵四边形ABCD是矩形，点C的纵坐标为2，
∴C（4，2）．
（2）设M（0，t），
∵S△ABC（4+2）×2＝6，△COM的面积＝△ABC的面积，
∴ |t| 4＝6，解得t＝±3，
∴M点坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）结论：∠OPD＝2∠EOQ．
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOE＝∠POE＝∠1+∠2，
∵OF⊥OE，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，∠4+∠AOE＝90°，
∴∠3＝∠4，
∵CD⊥y轴，
∴CD∥AB，
∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，
∵∠1+∠2+∠3＝90°，∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠2+2∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠OPD＝2∠EOQ．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，﹣1），B（﹣3，2），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C恰好落在x轴的正半轴上，设点C的坐标为（k，0），点B的对应点D在第一象限．
（1）求点D的坐标（用含k的式子表示）；
（2）连接BD，BC，如图2，若三角形BCD的面积为8，求k的值；
（3）连接AD，如图3，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，交于点P，试探究∠BAD，∠BCD和∠BPD之间的等量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BK⊥x轴于点E，过点D作DT⊥x轴于点F，再列方程可解得答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵﹣3+[k﹣（﹣5）]＝k+2，2+[0﹣（﹣1）]＝3，
∴D的坐标为（k+2，3）；
（2）过B作BK⊥x轴于K，过D作DT⊥x轴于T，如图：
∵B（﹣3，2），C（k，0），D（k+2，3）；
∴BK＝2，DT＝3，OK＝3，OT＝k+2，KT＝k+5，CK＝k+3，TC＝2，
∵三角形BCD的面积为8，
∴2×（k+3）2×3＝8，
解得k＝1，
∴k的值为1；
（3）∠BPD∠BCD∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，
∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，
∴∠BPD∠ABC∠ADC∠BCD∠A．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．现同时将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出C，D两点的坐标为：C （0，3） ，D （0，﹣2） ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，Q是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接PQ，PO，当点P在线段AC上移动时（不与点A，C重合），请找出∠DOP，∠QPO，∠BQP的数量关系，并证明你的结论；
（3）在坐标轴上是否存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．
【思路点拔】（1）由平移与坐标的关系可得C（0，3），D（0，﹣2）；
（2）过P作PM∥AB，知∠BQP+∠QPM＝180°，而AB∥CD，故PM∥CD，有∠OPM+∠DOP＝180°，即可得∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°；
（3）求出S△ACBAB×OB5×3＝7.5，分两种情况：①当M在x轴上时，BM×2＝7.5，BM＝7.5，故M（﹣4.5，0）或（10.5，0）；②当M在y轴上时，DM×3＝7.5，DM＝5，故M（0，﹣7）或（3，0）．
【解答】解：（1）∵A（3，5），B（3，0），将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D，
∴C（0，3），D（0，﹣2）；
故答案为：（0，3），（0，﹣2）；
（2）∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°；证明如下：
过P作PM∥AB，如图：
∴∠BQP+∠QPM＝180°，
∵A（3，5），B（3，0），C（0，3），D（0，﹣2）；
∴AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠OPM+∠DOP＝180°，
∴∠BQP+∠QPM+∠OPM+∠DOP＝360°，
∴∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°；
（3）在坐标轴上存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等，理由如下：
∵A（3，5），B（3，0），
∴AB＝5，
∵C（0，3），
∴OB＝3，
∴S△ACBAB×OB5×3＝7.5，
①当M在x轴上时，如图：
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∴BM×2＝7.5，
∴BM＝7.5，
∴M（﹣4.5，0）或（10.5，0）；
②当M在y轴上时，如图：
∵B（3，0），
∴DM×3＝7.5，
∴DM＝5，
∴M（0，﹣7）或（3，0）；
综上所述，M的坐标为（﹣4.5，0）或（10.5，0）或（0，﹣7）或（3，0）．
16．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）、B（4，2），将线段AB平移至线段CD，使点B的对应点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限．
（1）若点D的坐标为（0，k），求点C的坐标（用含k的式子表示）．
（2）连接AC、BC，若三角形ABC的面积为9，求k的值．
（3）如图2，分别作∠BAD和∠BCD的平分线，它们交于点P请写出∠B、∠P和∠ADC之间的一个等量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由点B（4，2）的对应点为D（0，k）得出线段CD是由线段AB向左平移4个单位，再向上平移（k﹣2）个单位后得到，即可得出结果；
（2）分两种情况：①当点C在点B水平线下方时，分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形BEFG，则BG＝6，BE＝3，CG＝5﹣k，CF＝k﹣2，AE＝2，AF＝4，由S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABE﹣S△ACF＝9，即可得出结果；
②当点C在点B水平线上方时，分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形CEFG，则BG＝k﹣5，BF＝3，CG＝6，CE＝k﹣2，AE＝4，AF＝2，由S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABF﹣S△ACE＝9，即可得出结果；
（3）过点P作PE∥AB得出∠EPA＝∠PAB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠DAB，则∠EPC＝∠PCD，∠P＝∠PAB+∠PCD，由角平分线的性质得出∠PCD∠BCD，∠PAB∠DAB，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点B（4，2）的对应点为D（0，k），
∴线段CD是由线段AB向左平移4个单位，再向上平移（k﹣2）个单位后得到，
∴由点A（2，﹣1）可得点C（﹣2，k﹣3）；
（2）①当点C在点B水平线下方时，
分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形BEFG，
如图1所示：
则BG＝6，BE＝3，CG＝5﹣k，CF＝k﹣2，AE＝2，AF＝4，
∴S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABE﹣S△ACF＝6×36×（5﹣k）2×34×（k﹣2）＝4+k＝9，
解得：k＝5；
②当点C在点B水平线上方时，
分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形CEFG，如图2所示：
则BG＝k﹣5，BF＝3，CG＝6，CE＝k﹣2，AE＝4，AF＝2，
∴S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABF﹣S△ACE＝6×（k﹣2）6×（k﹣5）2×34×（k﹣2）＝4+k＝9，
解得：k＝5；
综上所述：k的值为：5；
（3）∠P∠ADC∠B；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图3所示：
∴∠EPA＝∠PAB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠DAB，
∴∠EPC＝∠PCD，
∴∠P＝∠PAB+∠PCD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD
∴∠PCD∠BCD，∠PAB∠DAB，
∴∠P∠DAB∠BCD∠ADC∠B．
17．如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足0．
（1）直接写出点A，点C的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，
①说明GO∥AC的理由；
②直接写出∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系．
【思路点拔】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论；
（2）先表示出OQ，OP，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）①先判断出∠OAC＝∠AOD，进而判断出OG∥AC；
②判断出∠FHC＝∠ACE，同理∠FHO＝∠DOG，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵|b﹣8|＝0，
∴a﹣b+2＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
∴A（0，6），C（8，0）；
（2）解：由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
由运动知，OQ＝t，PC＝2t，
∴OP＝8﹣2t，
∵D（4，3），
∴S△ODQOQ×|xD|t×4＝2t，
S△ODPOP×|yD|（8﹣2t）×3＝12﹣3t，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t＝12﹣3t，
∴t＝2.4，
∴存在t＝2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）①证明：∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC＝∠DOC+∠AOD＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝90°，
又∵∠DOC＝∠DCO，
∴∠OAC＝∠AOD，
∵y轴平分∠GOD，
∴∠GOA＝∠AOD，
∴∠GOA＝∠OAC，
∴OG∥AC；
②解：猜想：∠DOG+∠ACE＝∠OHC，
理由如下：如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC＝∠ACE，
同理∠FHO＝∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠DOG＝∠FHO，
∴∠DOG+∠ACE＝∠FHO+∠FHC，
即∠DOG+∠ACE＝∠OHC．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．
（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；
（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；
（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，
∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴，
解得：k＝2．
（3）∠BPD∠BCD∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，
∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，
∴∠BPD∠ABC∠ADC∠BCD∠A．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接AC，BD，P是x轴上一动点．
（1）点C的坐标是 （0，4） ，点D的坐标是 （4，4） ；AC与BD的关系是 AC＝BD，AC∥BD ；
（2）当三角形PAC的面积是三角形PBD的面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
【思路点拔】（1）由点A（﹣1，0），B（3，0）可得OA＝1，OB＝3，OC＝AB＝4即可得出点C的坐标，由平移的性质可以得出点D的坐标和AC与BD的关系；
（2）由CD∥AB可得△PAC，△PBD是等高三角形，得到S△PAC：S△PBD＝AP：BP，由S△PAC＝3S△PBD，得到AP＝3BP，分两种情况：①当点P在线段OB上时，②当点P在AB的延长线上时，分别求解即可得到答案；
（3）分三种情况：当点P在线段AB上时；当点P在AB的延长线上时；当点P在BA的延长线上时，分别求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∴OC＝AB＝4，
∴C（0，4），
由平移的性质可得：CD∥AB，CD＝AB，
∴D（4，4），
∵点B可以看成点A向右平移4个单位长度，点D可以看成点C向右平移4个单位长度，
∴BD可以看成AC向右平移4个单位长度，
∴AC＝BD，AC∥CD，
故答案为：（0，4），（4，4），AC＝BD，AC∥BD；
（2）∵CD∥AB，
∴△PAC，△PBD是等高三角形，
∴S△PAC：S△PBD＝AP：BP，
∵S△PAC＝3S△PBD，
∴AP＝3BP，
①当点P在线段OB上时，PA+PB＝4，
∴3BP+BP＝4，
∴PB＝1，
∴P（2，0）；
②当点P在AB的延长线上时，AP＝3BP，
∴AP﹣BP＝AB＝4，
∴3BP﹣BP＝4，
∴BP＝2，
∴P（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，0）或（5，0）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，θ＝α+β．
，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT+∠DPT＝∠ACP+∠BDP，
∴θ＝α+β，
如图，当点P在AB的延长线上时，θ＝α﹣β，
，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT﹣∠DPT＝∠ACP﹣∠BDP，
∴θ＝α﹣β；
如图，当点P在BA的延长线上时，θ＝β﹣a，
，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠DPT﹣∠CPT＝∠BDP﹣∠ACP，
∴θ＝β﹣α，
综上所述：当点P在线段AB上时，θ＝α+β；当点P在AB的延长线上时，θ＝α﹣β；当点P在BA的延长线上时，θ＝β﹣a．
20．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、点B分别是x轴和y轴正半轴上的两点，已知OA＝4，点B的纵坐标是 的整数部分．
（1）A点的坐标为 （4，0） ，B点的坐标为 （0，3） ；
（2）将线段AB平移得到线段CD，点A对应点C，点B对应点D，
①若点C落在坐标轴的负半轴上，且三角形ABC的面积为9，求此时点D的坐标；
②当点C到x轴的距离为4，点D到y轴的距离为3，请直接写出此时点C和点D的坐标．
【思路点拔】（1）根据OA＝4，点A在x轴正半轴上，可得A点的坐标为（4，0）．根据点B的纵坐标是的整数部分，点B在y轴正半轴上，可得B点的坐标为（0，3）．
（2）①当点C落在x轴的负半轴上时，设此时点C的坐标为（m，0），m＜0，根据题意可列方程为9，求出m的值，可得点C的坐标，进而可得点D的坐标；当点C落在y轴的负半轴上时，设此时点C的坐标为（0，n），n＜0，根据题意可列方程为9，求出n的值，可得点C的坐标，进而可得点D的坐标．
②当点C的纵坐标为4，点D的横坐标为3时，线段AB向上平移4个单位长度，向右平移3个单位长度得到线段CD，根据平移的性质可得点C，D的坐标；当点C的纵坐标为4，点D的横坐标为﹣3时，线段AB向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度得到线段CD，根据平移的性质可得点C，D的坐标；当点C的纵坐标为﹣4，点D的横坐标为3时，线段AB向下平移4个单位长度，向右平移3个单位长度得到线段CD，根据平移的性质可得点C，D的坐标；当点C的纵坐标为﹣4，点D的横坐标为﹣3时，线段AB向下平移4个单位长度，向左平移3个单位长度得到线段CD，根据平移的性质可得点C，D的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝4，点A在x轴正半轴上，
∴A点的坐标为（4，0）．
∵点B的纵坐标是的整数部分，点B在y轴正半轴上，
∴B点的坐标为（0，3）．
故答案为：（4，0）；（0，3）．
（2）①当点C落在x轴的负半轴上时，
设此时点C的坐标为（m，0），m＜0，
∵三角形ABC的面积为9，
∴9，
解得m＝﹣2或10（舍去），
∴点C的坐标为（﹣2，0）．
∴线段AB向左平移6个单位长度得到线段CD，
∴点D的坐标为（﹣6，3）；
当点C落在y轴的负半轴上时，
设此时点C的坐标为（0，n），n＜0，
∵三角形ABC的面积为9，
∴9，
解得n或（舍去），
∴点C的坐标为（0，），
∴线段AB向左平移4个单位长度，向下平移个单位长度得到线段CD，
∴点D的坐标为（﹣4，）．
综上所述，点D的坐标为（﹣6，3）或（﹣4，）．
②∵点C到x轴的距离为4，点D到y轴的距离为3，
∴点C的纵坐标为4或﹣4，点D的横坐标为3或﹣3．
当点C的纵坐标为4，点D的横坐标为3时，
线段AB向上平移4个单位长度，向右平移3个单位长度得到线段CD，
∴点C的坐标为（7，4），点D的坐标为（3，7）；
当点C的纵坐标为4，点D的横坐标为﹣3时，
线段AB向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，4），点D的坐标为（﹣3，7）；
当点C的纵坐标为﹣4，点D的横坐标为3时，
线段AB向下平移4个单位长度，向右平移3个单位长度得到线段CD，
∴点C的坐标为（7，﹣4），点D的坐标为（3，﹣1）；
当点C的纵坐标为﹣4，点D的横坐标为﹣3时，
线段AB向下平移4个单位长度，向左平移3个单位长度得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
综上所述，C（7，4），D（3，7）或C（1，4），D（﹣3，7）或C（7，﹣4），D（3，﹣1）或C（1，﹣4），D（﹣3，﹣1）．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝AB，将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连结AC，BD，点P在x轴上．
（1）写出点C、点D的坐标；
（2）若S△PAC＝3S△PBD，求P的坐标；
（3）若∠ACP＝α，∠PDB＝β，∠DPC＝θ，画图并判断α、β、θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．
【思路点拔】（1）先求出OA＝1，OB＝3，进而求出答案；
（2）先判断出PA＝3PB，再分两种情况，利用AB＝4，建立方程求解，即可求出答案；
（3）分三种情况，作出平行线，根据图形求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4，
∵OC＝AB，
∴OC＝4，
∵点C在y正半轴上，
∴C（0，4），
∵将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴D（4，4）．
即C（0，4）；D（4，4）；
（2）∵CD∥AB，
∴△PAC，△PBD是等高三角形，
∵△PAC的面积是△PBD面积的3倍，
∴PA＝3BP，
①如图1，当点P在线段AB上时，PA+PB＝AB＝4，
∴3BP+PB＝4，
∴PB＝1，OP＝2，
∴P（2，0）；
②如图2，当点P在AB的延长线上时，AP＝3BP，
∴AP﹣PB＝AB＝4，
∴3BP﹣PB＝4，
∴PB＝2，OP＝5，
∴P（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，0）或（5，0）；
（3）如图3中，当点P在线段AB上时，结论：θ＝α+β，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT+∠DPT＝∠ACP+∠BDP，
∴θ＝α+β．
如图4中，当点P在AB的延长线上时，结论：θ＝α﹣β，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT﹣∠DPT＝∠ACP﹣∠BDP，
∴θ＝α﹣β．
如图5中，当点P在BA的延长线上时，结论：θ＝β﹣α，
理由：理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠DPT﹣∠CPT＝∠BDP﹣∠ACP，
∴θ＝β﹣α．
综上所述：当点P在线段AB上时，θ＝α+β．当点P在AB的延长线上时，θ＝α﹣β．当点P在BA的延长线上时，θ＝β﹣α．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足|a+b|+（a﹣b+6）2＝0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
（1）求出点A，B的坐标；
（2）如图2，若DB∥AC，∠BAC＝a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质得a+b＝0，a﹣b+6＝0，解方程即可得出a和b的值，从而得出答案；
（2）过点M作MN∥DB，交y轴于点N，根据角平分线的定义得，∠BDM＝45°，再利用平行线的性质可得答案；
（3）连接OB，利用两种方法表示△AOB的面积，可得点F的坐标，再分点P在y轴或x轴上两种情形，分别表示△ABP的面积，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（a﹣b+6）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图，过点M作MN∥DB，交y轴于点N，
∴∠DMN＝∠BDM，
又∵DB∥AC，
∴MN∥AC，
∴∠AMN＝∠MAC，
∵DB∥AC，∠DOC＝90°，
∴∠BDO＝90°，
又∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，
∴，∠BDM＝45°，
∴，∠DMN＝45°，
∴；
（3）存在．
连接OB，如图．
设F（0，t），
∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，
∴，
解得，
∴F点坐标为，，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，
∴|y|×3|y|×3，
解得y＝5或y＝﹣2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
|x+3|×3，
解得x＝﹣10或x＝4，
∴此时P点坐标为（﹣10，0）或（4，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）或（4，0）．
23．如图，在平面直角坐标系中有一点A（﹣1，0），B，C为动点，以点A为直角顶点作等腰直角△ABC，其中B，C分别在第一、二象限，设B（m，n），C（a，b）．
（1）若B（2，n），C（﹣5，b），求B，C的坐标；
（2）若B的横坐标不变，即B（2，n），当n的值发生变化时，a+n的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【思路点拔】（1）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证明∠FCA＝∠EAB，再证明△FCA≌△EAB（AAS），AF＝BE，CF＝AE，根据三点的坐标得到AF＝4，AE＝3，则BE＝4，CF＝3，即可得到B（2，4），C（﹣5，3）；
（2）如图所示，过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，同理可证明△FCA≌△EAB（AAS），则AF＝BE，CF＝AE，仿照（1）求出C（﹣1﹣n，2），则a＝﹣1﹣n，即a+n＝﹣1．
【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠EAB＝90°，
∴∠FCA＝∠EAB，
在△FCA与△EAB中，
，
∴△FCA≌△EAB（AAS），
∴AF＝BE，CF＝AE，
∵A（﹣1，0），B（2，n），C（﹣5，b），
∴AF＝4，AE＝3，
∴BE＝4，CF＝3，
∴B（2，4），C（﹣5，3）；
（2）a+n的值不发生变化，a+n＝﹣1，理由如下：
同理可证明△FCA≌△EAB（AAS），
∴AF＝BE，CF＝AE，
∵A（﹣1，0），B（2，n），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝n，
∴C（﹣1﹣n，3）
∵C（a，b），
∴a＝﹣1﹣n，
∴a+n＝﹣1．
24．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【思路点拔】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
25．已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点．
（1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A；
（2）直接写出线段AB，CD之间的关系；
（3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意画出图象即可；
（2）结合图象即可得出答案；
（3）先计算出S四边形ABCD＝5×3＝15．设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD，列方程计算即可得出答案．
【解答】解：（1）画出图象如图所示：
（2）由图象可得：AB＝CD，AB∥CD；
（3）∵S四边形ABCD＝5×3＝15．
设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD，
∴，即|2+t|＝6，
解得：t1＝4 t2＝﹣8．
∴在y轴上存在P1（0，4），P2（0，﹣8）使S△PAB＝S四边形ABCD．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质得a+b＝0，a﹣b+6＝0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB＝180°，而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，所以∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，再根据角平分线定义得∠OAN∠FAO，∠NDM∠ODE，则∠NDM﹣∠OAN＝45°，接着利用∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，得到∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，所以∠NDM+∠DNM＝135°，然后根据三角形内角和定理得180°﹣∠NMD＝135°，所以∠NMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），根据△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积得到 3 t t 3 3 3，解得t，则可得到F点坐标为（0，）；
②先计算△ABC的面积，分类讨论：当P点在y轴上时，设P（0，y），利用△ABP的面积＝△APF的面积+△BPF的面积得到 |y| 3 |y| 3，解得y＝5或y＝﹣2，所以此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得 |x+3| 3，解得x＝﹣10或x＝4，从而得到此时P点坐标．
【解答】解：（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，
∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图2，
∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB＝180°，
而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，
∴∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN∠FAO，∠NDM∠ODE，
∴∠NDM﹣∠OAN＝45°，
而∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，
∴∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，
∴∠NDM+∠DNM＝135°，
∴180°﹣∠NMD＝135°，
∴∠NMD＝45°，
即∠AMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），
∵△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积，
∴ 3 t t 3 3 3，解得t，
∴F点坐标为（0，）；
②存在．
△ABC的面积 7 3，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵△ABP的面积＝△APF的面积+△BPF的面积，
∴ |y| 3 |y| 3，解得y＝5或y＝﹣2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则 |x+3| 3，解得x＝﹣10或x＝4，
∴此时P点坐标为（﹣10，0），（4，0）
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，﹣2）；（﹣10，0），（4，0）．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点F是直线BD上一个动点，连接FC、FO，当点F在直线BD上运动时，请直接写出∠OFC与∠FCD，∠FOB的数量关系．
【思路点拔】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到6×2＝2|4﹣x|×2，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）分类讨论：当点F在线段BD上，作FM∥AB，根据平行线的性质由MF∥AB得∠2＝∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，则∠1＝∠FCD，所以∠OFC＝∠FOB+∠FCD；同样得到当点F在线段DB的延长线上，∠OFC＝∠FCD﹣∠FOB；当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC＝∠FOB﹣∠FCD．
【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D，
∴点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
四边形ABDC的面积＝2×（4+2）＝12；
（2）存在．
设点E的坐标为（x，0），
∵△DEC的面积是△DEB面积的2倍，
∴6×2＝2|4﹣x|×2，解得x＝1或x＝7，
∴点E的坐标为（1，0）和（7，0）；
（3）当点F在线段BD上，作FM∥AB，如图1，
∵MF∥AB，
∴∠2＝∠FOB，
∵CD∥AB，
∴CD∥MF，
∴∠1＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠1+∠2＝∠FOB+∠FCD；
当点F在线段DB的延长线上，作FN∥AB，如图2，
∵FN∥AB，
∴∠NFO＝∠FOB，
∵CD∥AB，
∴CD∥FN，
∴∠NFC＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠NFC﹣∠NFO＝∠FCD﹣∠FOB；
同样得到当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC＝∠FOB﹣∠FCD．
28．如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）20．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC＝S△MOD，求点D的坐标；
（3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）由S△BCM＝S△DOM知S△ABO＝S△ACD＝12．连CO，作CE⊥y轴，CF⊥x轴，则S△ABO＝S△ACO+S△BCO，据此列出方程组求得C（﹣3，2），而S△ACDCE×AD＝12，易得OD＝4，则可得出答案；
（3）由S△PAB＝S△EAB＝20求得OE＝4．由S△ABF＝S△PBA＝20求得OF．结合S△PGE＝S梯GPFO+S△OEF求得PG＝8．可求出P（﹣8，﹣8）．
【解答】解：（1）∵|a﹣4|≥0，0，|a﹣4|0，
∴|a﹣4|＝0，0．
∴a＝4，b＝﹣6．
∴A（0，4），B（﹣6，0）；
（2）如图，
由S△BCM＝S△DOM，
∴S△ABO＝S△ACD，
∵S△ABOAO×BO＝12．
连CO，作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，
∵S△ABO＝S△ACO+S△BCO，
∴126×|m||n|，
∵m＜0，n＞0，
∴﹣3m+2n＝12①，
∵n﹣m＝5，②
①②联立解得，
∴C（﹣3，2），
∵S△MBC＝S△MOD，
连接CO，
∴S△BCO＝S△DCO，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4）；
（3）∵S△PAB＝S△EAB＝20，
∴AO×BE＝20，即4×（6+OE）＝40，
∴OE＝4．
∴E（4，0），
∵GE＝12，
∴GO＝8，
∴G（﹣8，0）．
∵S△ABF＝S△PBA＝20，
∴S△ABFBO×AF6×（4+OF）＝20，
∴OF，
∴F（0，），
∵S△PGE＝S梯GPFO+S△OEF，
∴12×PG（PG）×84，
∴PG＝8，
∴P（﹣8，﹣8）．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段OA与OB的长满足等式．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC，则△ABC的面积为 9 ；
（3）若点D在线段AB上，且AD＝2BD，点Q在x轴上且S△ADQ＝10，请直接写出点D的坐标 （2，2） ，点Q的坐标 （﹣2，0）或（8，0） ．
（数学活动小组的同学发现：可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，△OAD的面积是△OAB面积的，利用其面积即可求出点D坐标．）
【思路点拔】（1）根据非负数的性质得OB﹣3＝0，OB﹣2OA+9＝0，据此可得出OA，OB的长；
（2）过点C作CE⊥x轴于E，则OE＝1，CE＝2，BE＝4，进而得S梯形AOEC＝4，S△AOB＝9，S△BCE＝4，然后根据S△ABC＝S梯形AOEC+S△AOB﹣S△BCE可得出答案；
（3）连接OD，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，根据点D在线段AB上，且AD＝2BD，得，，进而得S△AODS△AOB，S△BODS△AOB，则6×DM9，3×DN9，由此可求出DM＝2，DN＝2，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且S△ADQ＝10，可分为两种情况：①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，则DP＝2设OQ＝a，则BQ＝3+a，进而得S△ABQ＝9+3a，S△BQD＝3+a，然后根据S△ABQ﹣S△BQD＝S△ADQ＝10得9+3a﹣（3+a）＝10，由此解出a＝2即可得点Q的坐标；①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，设OQ＝a，则OQ＝3+a，进而得S△AOQ＝9+3a，S△BQD＝a，然后根据S△AOQ﹣S△AOB﹣S△BQD＝S△ADQ＝10得9+3a﹣9﹣a＝10，由此解出a＝5，则OQ＝8，据此可得点Q的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵√，|OB﹣2OA+9|≥0，
又∵，
∴OB﹣3＝0，OB﹣2OA+9＝0，
由OB﹣3＝0，解得：OB＝3，
将OB＝3代入OB﹣2OA+9＝0，得：OA＝6，
故OB＝3，OA＝6；
（2）过点C作CE⊥x轴于E，如图1所示：
∵点C的坐标为（﹣1，2），
∴OE＝1，CE＝2，
∴BE＝OB+OE＝4，
∴S梯形AOEC（2+6）×1＝4，S△AOB3×6＝9，S△BCE4×2＝4，
∴S△ABC＝S梯形AOEC+S△AOB﹣S△BCE＝4+9﹣4＝9；
故答案为：9．
（3）连接OD，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，如图2所示：
∵点D在线段AB上，且AD＝2BD，
∴AB＝AD+BD＝3BD，
∴，，
∴，，
∴S△AODS△AOB，S△BODS△AOB，
由（2）可知：S△AOB＝9，
∴6×DM9，3×DN9，
∴DM＝2，DN＝2，
∴点D的坐标为（2，2）；
∵点Q在x轴上且S△ADQ＝10，
∴有以下两种情况：
①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，如图3所示：
∵点D的坐标为（2，2），则DP＝2
设OQ＝a，则BQ＝OB+OQ＝3+a，
∴S△ABQBQ OA（3+a）×6＝9+3a，S△BQDBQ DP（3+a）×2＝3+a，
∵S△ADQ＝10，
∴S△ABQ﹣S△BQD＝S△ADQ＝10，
∴9+3a﹣（3+a）＝10，
解得：a＝2
∴点Q的坐标为（﹣2，0）；
①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作DP⊥x轴于P，如图4所示：
设OQ＝a，则OQ＝OB+BQ＝3+a，
∴S△AOQOQ OA（3+a）×6＝9+3a，S△BQDBQ DPa×2＝a，
∵S△ADQ＝10，S△AOB＝9，
∴S△AOQ﹣S△AOB﹣S△BQD＝S△ADQ＝10，
∴9+3a﹣9﹣a＝10，
解得：a＝5，
∴OQ＝3+a＝8
∴点Q的坐标为（8，0），
综上所述：点Q的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，即可得出A、B、C三点的坐标；
（2）根据四边形ABOP的面积等于△AOB的面积加上△AOP的面积计算即可；
（3）根据四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴0，（b﹣2）2|＝0，|c﹣3|＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝3，
∴点A的坐标是（0，1），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，3）；
（2）由（1）知A（0，1），B（2，0），C（2，3），
又∵P（m，）在第二象限，
∴m＜0，
∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP
1×21×|m|
＝1m；
（3）存在，
∵B（2，0），C（2，3），
∴BC⊥x轴，
∴S△ABC3×2＝3，
由题意得，1m＝3，
解得m＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，）．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足|b﹣2|＝0．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从点C出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向上匀速移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒，当S△ODQ＝2S△ODP，此时是否存在点M（m，6）使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）分两种情形当点P在线段OC上时，当点P在CO的延长线上时，分别构建方程即可解决问题；分两种情形，根据S△ODM＝3S△ODQ，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵|b﹣2|＝0，
又∵0，|b﹣2|≥0．
∴a＝4，b＝2，
∴C（2，0），A（0，4）；
（2）当点P在线段OC上时，由题意：2t×1＝2（2﹣t）×2，解得t．
当点P在CO的延长线上时，由题意：2t×1＝2（t﹣2）×2，解得t＝4．
如图1﹣1中，当点P在OC上时，Q（0，），
∵S△ODM＝3S△ODQ，
∴6（1﹣m）4×（1﹣m）1×26×（﹣m）＝4或6m6×m6×14×m＝4，
整理得：m＝﹣1或7，
∴M（﹣1，6）或（7，6）．
当点P′在CO的延长线上时，如图1﹣2中，此时，Q′（0，8），
∵S△ODM＝3S△ODQ′，
∴6（1﹣m）6×（﹣m）1×24×（1﹣m）＝12或6m4×（m+1）6×m2×1＝12，
整理得：m＝﹣9或15，
∴M（﹣9，6）或（15，6）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣1，6）或（7，6）或（﹣9，6）或（15，6）．
32．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD．
（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），直接写出点D的坐标；
（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【思路点拔】（1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等；
（2）根据EF∥OM，EF＝OM，O（0，0），M（2，0），得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝2，解答即可；
（3）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设D（x，y），
∵将线段AB平移至线段CD，A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），
∴x﹣0＝﹣2﹣（﹣3），y﹣2＝﹣2﹣0，
∴x＝1，y＝0，
∴D（1，0）；
（2）存在，理由：
，
∵EF∥OM，EF＝OM，O（0，0），M（2，0），
∴点E与F的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形OMEF是平行四边形，
即2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝2，
解得：a，b或a，b，
∴点E的坐标为（，0），F的坐标为（，0）或点E的坐标为（，4），F的坐标为（，4），
当E（，0），F（，0）时，O、M、E、F四点均在x轴上，不能构成平行四边形，舍去；
∴E（ ，4），F（，4）；
（3）存在．
分三种情况：
，
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣3°×t＝120°﹣3°×t＝120°﹣3t°，∠BAC＝110°﹣1°×t＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，即120°﹣3t°＝110°﹣t°，
解得t＝5，
此时（180°﹣60°）÷3°＝40，
∴0＜t＜40，
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF﹣360°﹣3t°﹣60°＝300°﹣3t°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣3t°＝110°﹣t°，
解得t＝95，
此时（360°﹣60°）÷3°＝100，
∴40＜t＜100；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t°﹣（180°﹣60°+180°）＝3t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即3t°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝95，
此时t＞110，
∵95＜110，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
33．如图1：在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上且点A（﹣4，0）点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置
（1）直接写出点C的坐标 （4，3） ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），过点E作x轴的垂线，在垂线上有一动点P，求三角形PCD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，当△ACP的面积为时，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）根据CD⊥x轴于点D，于是得到CD＝3，即h＝3，OD＝4，求得DE＝3，于是得到结论；
（3）①设P1（1，y），根据S△ACP＝S四边形PEDC+S△AEP﹣S△ADC，求得y＝6，得到P1（1，6）
②设P2（1，﹣a），如图3，过P作PL∥AD交CD的延长线于L，过A作AH⊥PL于H，根据S△ACP＝S四边形AHLC﹣S△AHP﹣S△LCP，求得a得到P2（1，）．
【解答】解：（1）∵B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置，
∴C（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）∵CD⊥x轴于点D，
∴CD＝3，即h＝3，OD＝4，
∵E（1，0），
∴DE＝3，
∴S△PCD3×3；
（3）①设P1（1，y），
∴S△ACP＝S四边形PEDC+S△AEP﹣S△ADC
，
∴y＝6，
∴P1（1，6）
②设P2（1，﹣a），如图3，过P作PL∥AD交CD的延长线于L，过A作AH⊥PL于H，
∴S△ACP＝S四边形AHLC﹣S△AHP﹣S△LCP
，
∴a
∴P2（1，），
综上所述：P（1，6），（1，）．
34．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 |m﹣2| （用含m的式子表示）；
②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 （0，） ．
【思路点拔】（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F，由题意得出M（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4）．得出AM＝5，CM＝2，BE＝3，CE＝2，DE＝4，BF＝2，AF＝4．S△ABC＝S矩形AMEF﹣S△ACM﹣S△BCE﹣S△ABF，即可得出结果；
（2）①根据题意容易得出结果；
②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）与待定系数法求出直线AC的解析式，即可得出点D的坐标．
方法二：由面积法求出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）
∴M（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4），OB＝4．
∴AM＝5，CM＝2，BE＝3，CE＝2，ME＝4，BF＝2，AF＝4．
∴S△ABC＝S矩形AMEF﹣S△ACM﹣S△BCE﹣S△ABF
＝AM DEAM CMCE BEBE AF8．
答：△ABC的面积是8．
（2）①根据题意得：AP＝|m﹣2|；
故答案为：|m﹣2|；
②∵S△PAB＝2S△ABC
∴
∴AP＝|m﹣2|＝8，
∴m﹣2＝8或m﹣2＝﹣8，
∴m＝10或m＝﹣6；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k，b；
∴直线AC的解析式为yx，
当x＝0时，y，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
方法二：如图2，
由（1）可知，S△ABC＝8，
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2），
∴OA＝2，OB＝4，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCDBD×3BD×2＝8，
∴BD，
∴OD＝OB﹣BD＝4，
∴D（0，），
故答案为：（0，）．
35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ 0 ， 6 ）、C（ 8 ， 0 ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB＝8，AC＝6当点P在线段AC上时，于是得到结论；
（3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），
故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APDAP AC S四边形ABOC＝AB AC，S△APDS四边形ABOC，
∴（8﹣2t）×68×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APDAP CD CD＝8﹣2＝6，
∴（2t﹣8）×68×6，
解得：t＝5．
综上所述：当t为3秒和5秒时S△APDS四边形ABOC，
36．如图1，点A（a，0）、B（b，0），其中a、b满足（3a+b）20，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接AC、BD．
（1）连接AD交OC于一点F，求OF；
（2）如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点G．问S△GMD﹣S△OGN的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用面积法求解；
（2）结论：S△GMD﹣S△OGN的值是定值．分两种情形：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．分别求解即可．
【解答】解：（1）∵（3a+b）20，
又∵（3a+b）2≥0，b﹣a﹣4≥0，
∴，
解得，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝CD＝4，
∵OC＝2，CD∥AB，
∴D（4，2），
∵S△ACD＝S△ACF+S△CDF，
∴CO CDCF AOCF CD，
即4×2CF×1CF×4，
∴CF，
∴OF＝2；
（2）结论：S△GMD﹣S△OGN的值是定值．
理由：如图2﹣1中，当点N在线段OB上时，连接OD．
设运动时间为t秒，
由题意：OM＝t，BN＝2t，
∴S△OMDt×4＝2t，S△DBN2t×2＝2t，
∴S△OMD＝S△BND，
∴S四边形DMON＝S△OBD3×2＝3，
∵S△GMD﹣S△OGN＝S四边形DMON＝3＝定值．
如图2﹣2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD．
∵S△GMD﹣S△OGN＝S△ODM﹣S△ODN＝S△DBN﹣S△ODN＝S△OBD＝3＝定值，
综上所述，S△GMD﹣S△OGN的值是定值，定值为3．
37．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 （2，0） ；A点的坐标为 （0，4） ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）如图2，过O作OG∥AC，作∠AOF＝∠AOG交AC于点F，点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值即可；
（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵|b﹣2|＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴，，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴．
