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《平面直角坐标系的规律探究题》
一．选择题（共26小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，一动点自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至点P1（1，1），然后向左运动2个单位长度至点P2（﹣1，1）处，再向下运动3个单位长度至点P3（﹣1，﹣2）处，再向右运动4个单位长度至点P4（3，﹣2）处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至P2024处时，点P2024的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，﹣1012）
C．（1013，﹣1012） D．（1013，1013）
【思路点拔】先确定点P2024在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律P4n（2n+1，﹣2n），进而得出答案即可．
【解答】解：∵2024÷4＝506，则P2024在第四象限，
由题意，第四象限的点为P4（3，﹣2），P8（5，﹣4），P12（7，﹣6）， ，P4n（2n+1，﹣2n），
∴P2024（1013，﹣1012）．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到（1，0），第二次从（1，0）运动到（1，1），第三次从（1，1）运动到（2，1），第四次从（2，1）运动到（2，﹣1），第五次从（2，﹣1）运动到（3，﹣1），第六次从（3，﹣1）运动到（3，2）……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ）
A．（1011，506） B．（1011，﹣506）
C．（1012，506） D．（1012，﹣506）
【思路点拔】根据题意得到第2n次的横坐标为n，第2n﹣1次的横坐标也为n，第4n次和第4n+1次纵坐标的为﹣n即可求解．
【解答】解：根据题意可得，
第一次从原点运动到（1，0），
第二次从（1，0）运动到（1，1），
第三次从（1，1）运动到（2，1），
第四次从（2，1）运动到（2，﹣1），
第五次从（2，﹣1）运动到（3，﹣1），
第六次从（3，﹣1）运动到（3，2），
第七次从（3，2）运动到（4，2），
第八次从（4，2）运动到（4，﹣2），
第九次从（4，﹣2）运动到（5，﹣2），
…
∴第一次和第二次的横坐标都为1，
第三次和第四次的横坐标都为2，
第五次和第六次的横坐标都为3，
∴第2n次的横坐标为n，第2n﹣1次的横坐标也为n，
∴第2024次的横坐标为，
第二次和第三次的纵坐标都是1，
第四次和第五次的纵坐标都是﹣1，
第六次和第七次的纵坐标都是2，
第八次和第九次的纵坐标都是﹣2，
∴从第二次开始纵坐标依次为1，1，﹣1，﹣1，2，2，﹣2，﹣2，3，3，…
∵第四次和第五次的纵坐标都是﹣1，第八次和第九次的纵坐标都是﹣2，
∴第4n次和第4n+1次纵坐标的为﹣n，
∴第2024次和第2025次的纵坐标都是，
∴经过第2024次，点P的坐标是（1012，﹣506）．
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，有一点N自P0（0，﹣1）处向右运动1个单位至P1（1，﹣1），然后向上运动2个单位至P2处，再向左运动3个单位至P3处，再向下运动4个单位至P4处，再向右运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P107的坐标为（ ）
A．（53，﹣54） B．（﹣55，54） C．（﹣54，53） D．（﹣53，﹣53）
【思路点拔】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意得，点P0（0，﹣1）向右运动1个单位至点P1（1，﹣1），
向上运动2个单位至点P2（1，1），
向左运动3个单位至点P3（﹣2，1），
向下运动4个单位至点P4（﹣2，﹣3），
向右运动5个单位至点P5（3，﹣3），
向上运动6个单使至点P6（3，3），
向左运动7个单位至点P7（﹣4，3），…
综上所述，每四个点在四个象限循环，107＝4×26+3点P107在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∵第一象限的点的坐标分别为P2（1，1，），P6（3，3），……P4n﹣2（2n﹣1，2n﹣1），
∴第二象限的为P4n﹣2（2n﹣1，2n﹣1）点向左运动4n﹣1个单位至P4n﹣1（2n﹣1﹣4n+1，2n﹣1），即P4n﹣1（﹣2n，2n﹣1），
∵107＝4×27﹣1，
∴n＝27，
∴P4×27﹣1（﹣2×27，2×27﹣1），即（﹣54，53）．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标是（﹣1，﹣1），若将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，…，如此平移下去，则第2022次平移后点A的坐标是 （ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【思路点拔】先根据平移的性质得出每次平移后点的坐标，找出规律即可得出结论．
【解答】解：点A的坐标是（﹣1，﹣1），
将△ABC向右平移2个单位长度后点的坐标为（﹣1+2，﹣1），即（1，﹣1）；
再向上平移2个单位长度后点的坐标为（1，﹣1+2），即（1，1）；
再向左平移2个单位长度后点的坐标为（1﹣2，1），即（﹣1，1）；
再向下平移2个单位长度后点的坐标为（﹣1，1﹣2），即（﹣1，﹣1），
，四次一个循环，
∵2022÷4＝505......2，
∴第2022次平移后点A的坐标是（1，1）．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是（ ）
A．（﹣2023，4046） B．（﹣2022，22023）
C．（﹣2022，4046） D．（﹣2023，22023）
【思路点拔】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1，据此规律解答即可．
【解答】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2023×2＝4046，横坐标为：1﹣2023＝﹣2022，则最左边第一个点的坐标是（﹣2022，4046）．
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（﹣3，﹣1），连接AB，把线段AB向右平移4个单位长度得到线段A1B1，连接AA1、BB1，已知小蚂蚁从A点开始出发以每秒1个单位长度的速度按A﹣A1﹣B1﹣B﹣A方向匀速循环爬行，2023秒后小蚂蚁所在位置的点的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（1，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，﹣1）
【思路点拔】根据A（﹣3，2），B（﹣3，﹣1），求得AB＝3，根据平移的性质得到AA1＝BB1＝4，BB1＝AA1＝3，求得A1（1，2），B1（1，﹣1），根据矩形的周长公式所示矩形ABB1A1的周长为14，求得从A点开始出发以每秒1个单位长度的速度A﹣A1﹣B1﹣B﹣A的方向匀速循环爬行一周需要14秒，于是得到结论．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（﹣3，﹣1），
∴AB＝3，
∵把线段AB向右平移4个单位长度得到线段A1B1，
∴AA1＝BB1＝4，BB1＝AA1＝3，
∴A1（1，2），B1（1，﹣1），
∴矩形ABB1A1的周长为14，
∴从A点开始出发以每秒1个单位长度的速度A﹣A1﹣B1﹣B﹣A的方向匀速循环爬行一周需要14秒，
∵2023÷14＝144 7，
∴2023秒后小蚂蚁所在位置的点的坐标为（1．﹣1），
故选：B．
7．如图，在直角坐标系中，边长为2的等边△OA1A2的一条边OA2在x的正半轴上，O为坐标原点；将△OA1A2沿x轴正方形依此向右移动4个单位，依次得△A3A4A5，△A6A7A8…，则顶点A2019的坐标为（ ）
A．（2690，0） B．（2692，0） C．（2694，0） D．无法确定
【思路点拔】观察图形可知，3个点一个循环，每个循环向右移动4个单位，依此可求顶点A2019的坐标．
【解答】解：2019÷3＝673，
673×4＝2692，
故顶点A2019的坐标是（2692，0）．
故选：B．
8．如图，点A1（1，1）向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到A4，…，按照这个规律平移得到的点A2022，则点A2022的横坐标为（ ）
A．22021 B．22022﹣1 C．22022 D．22022+1
【思路点拔】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意知，A1（1，1），A2（3，2），A3（7，4），A4（15，8），
…
∴An（2n﹣1，2n﹣1），
∴点A2022的横坐标为22022﹣1．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A2023的坐标为（ ）
A．（﹣2024，0） B．（﹣2022，0） C．（0，﹣2024） D．（0，﹣2022）
【思路点拔】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点A4n的坐标为（0，﹣4n），由此求解即可．
【解答】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；
把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；
把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；
把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移N个单位应该为再向下或向上平移N个单位得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点A4n的坐标为（0，﹣4n），
∵2023＝4×505+3，
∴点A2024的坐标为（0，﹣2024），
点A2023的坐标为（﹣2024，0），
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，一质点自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至P1（1，1）．然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，...，按此规律继续运动，则P2023的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，﹣1012）
C．（﹣1011，﹣1012） D．（﹣1012，﹣1013）
【思路点拔】根据第三象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意可知P3（﹣1，﹣2），P7（﹣3，﹣4），P11（﹣5，﹣6），…，
∴第三象限中点P4n﹣1（﹣2n+1，﹣2n），
∴P2023（﹣1011，﹣1012），
故选：C．
11．如图，在坐标平面上，小明从点P（0，﹣6）出发，每天都是先向左走2个单位，再向上走3个单位．小明第一天由P点走到P1点，第二天由P1点走到P2点，…．那么小明第2024天走到的点的坐标是（ ）
A．（4048，﹣6066） B．（﹣2024，6072）
C．（2024，﹣6072） D．（﹣4048，6066）
【思路点拔】根据小明的行走方式，发现点Pn的横坐标依次减小2，纵坐标依次增加3，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为小明每天都是先向左走2个单位，再向上走3个单位，
所以点Pn的横坐标依次减小2，纵坐标依次增加3．
又因为点P的坐标为（0，﹣6），
所以0﹣2×2024＝﹣4048，﹣6+3×2024＝6066，
所以小明第2024天走到的点的坐标是（﹣4048，6066）．
故选：D．
12．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0）．点A第一次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2023时，点的坐标是（ ）
A．（1010，1011） B．（1011，1012）
C．（1010，1012） D．（1011，1013）
【思路点拔】根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意，A1（﹣1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），…，A2n﹣1（﹣2+n，n），
∴A2023（1010，1012），
故选：C．
13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A．（1012，1013） B．（1011，1012）
C．（1013，1012） D．（1012，1011）
【思路点拔】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【解答】解：∵A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4）…
∴A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），
∴2n＝2024
解得n＝1012，
∴A2024（1013，1012）．
故选：C．
14．如图，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0）．点A第一次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A2024的坐标是（ ）
A．（1010，1011） B．（1011，1012）
C．（1010，1012） D．（1011，1013）
【思路点拔】根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意，A2（0，1），A4（1，2），A6（2，3），A8（3，4），A10（4，5）， ，A2n（﹣1+n，n），当n＝1012时，A2022（1011，1012），
故选：B．
15．在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动一个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处……，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，……，则x1+x2+……+x2018+x2019的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．2019
【思路点拔】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出x1+x2+…+x7；经过观察分析可得每4个数的和为2，把2019个数分为505组，即可得到相应结果．
【解答】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8的值分别为：1，﹣1，﹣1，3，3，﹣3，﹣3，5；
∴x1+x2+…+x7＝﹣1
∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；
x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；
…
x97+x98+x99+x100＝2…
∴x1+x2+…+x2016＝2×（2016÷4）＝1008．
而x2017、x2018、x2019的值分别为：1009、﹣1009、﹣1009，
∴x2017+x2018+x2019＝﹣1009，
∴x1+x2+…+x2018+x2019＝1008﹣1009＝﹣1，
故选：C．
16．如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A．（﹣506，1012） B．（﹣507，1012）
C．（507，1012） D．（506，1013）
【思路点拔】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2024＝506×4即可得出点A2024的坐标．
【解答】解：设第n次跳动至点An，
观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，
∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数），
∵2024＝506×4，
∴A2024（﹣506﹣1，506×2），即（﹣507，1012）．
故选：B．
17．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（﹣1，0）出发，依次经过点A1（0，﹣2），A2（0，0），A3（0，2），A4（1，0），A5（2，﹣2）…根据这个规律，探究可得A2023的坐标为（ ）
A．（1010，﹣2） B．（1010，0） C．（1010，2） D．（1011，2）
【思路点拔】由图形得出点的横坐标依次是0、0、0、1、2、…，纵坐标依次是﹣2、0、2、1、2、2、2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，
点A1（0，﹣2），A2（0，0），A3（0，2），A4（1，0）…的横坐标依次是0、0、0、1、2、2、2、3、4、4、4...，4的倍数的横坐标为A的序数的二分之一，除以4有余数的是序数商的两倍，的纵坐标是﹣2、0、2、1、2、2、2、…，四个一循环，
2023÷4＝505……3，
故点A2023坐标是（1010，2）．
故选：C．
18．如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2024的坐标是（ ）
A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2023，﹣2） D．（2023，2）
【思路点拔】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，
2024÷4＝505……4，
故点A2024坐标是（2024，0）．
故选：A．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过2024秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2022，0） C．（2023，﹣1） D．（2024，0）
【思路点拔】求出移动4次纵坐标完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、﹣1、0为一个周期依次循环，
∵2024÷4＝506，
∴P的坐标是（2024，0），
故选：D．
20．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1（0，1），A2（1，0），A3（2，0），A4（0，2），A5（0，3），A6（3，0），A7（4，0），A8（0，4），…，按此规律，则点A2024的坐标是（ ）
A．（0，1011） B．（1011，0） C．（0，1012） D．（1012，0）
【思路点拔】根据题意，将连续的4个点A看成一组，分析点A的位置以及其坐标的规律，由此可得答案．
【解答】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，
A1（0，1），A2（1，0），A3（2，0），A4（0，2），其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；
A5（0，3），A6（3，0），A7（4，0），A8（0，4），其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；
则点A2024是第506组的第4个点，则A2024在x轴上，其非零坐标即横坐标为1012，
故点A2024的坐标是（0，1012），
故选：C．
21．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1，A2，A3，A4，...表示，（A1在第三象限，顺时针依次为A2，A3，A4，A5在第三象限，顺时针依次为A6，A7，A8，依此类推…）则顶点A2024的坐标是（ ）
A．（505，﹣505） B．（﹣505，505）
C．（506，﹣506） D．（﹣506，506）
【思路点拔】根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”，依此即可得出结论．
【解答】解：观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），……，
∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）．
∵2024＝505×4+4，
∴A2024（506，﹣506）．
故选：C．
22．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．（0，1） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
【思路点拔】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．
【解答】解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是（3，4），
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是（7，0），
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是（8，1），
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是（5，4），
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是（1，0），
……
∵2023÷6＝337 1，
∴小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），
故选：A．
23．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…．依次扩展下去，则P2021的坐标为（ ）
A．（505，505） B．（﹣505，505）
C．（﹣505，﹣506） D．（﹣506，505）
【思路点拔】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论．
【解答】解：由规律可得，2021÷4＝505……1，
∴点P2021的在第二象限，
∵点P1（﹣1，0），点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2），
∴点P2021（﹣506，505）．
故选：D．
24．如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，……，则点M2024的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1）
【思路点拔】根据点坐标计算长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用2024÷5的余数即可求出第2024次相遇点的坐标．
【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2024÷5＝404 4，
∴M2024的坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
25．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7， 都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6， 的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（ ）
A．（﹣1010，0） B．（﹣1008，0） C．（2，﹣505） D．（1，506）
【思路点拔】观察图形可以看出A1～A4；A5～A8……每4个为一组，由于2023÷4＝505余3，A2023在x轴负半轴，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【解答】解：观察图形可以看出A1～A4；A5～A8……每4个为一组，
∵2023÷4＝505 3，
∴A2021在x轴负半轴，纵坐标为0，
∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
则A4n+3的横坐标为﹣2n，
∴A2023的横坐标为﹣2×505＝﹣1010，
∴A2023的坐标为（﹣1010，0）．
故选：A．
26．如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2023次运动到点（ ）
A．（2023，2） B．（4046，0） C．（2023，4） D．（4046，4）
【思路点拔】根据已知点的坐标可以推出动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，进行求解即可．
【解答】解：∵第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），第4次从原点运动到点（8，0），第5次运动到点（10，2）……，
∴动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次运动到点（2×2023，4），即：（4046，4）；
故选：D．
二．填空题（共19小题）
27．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第110个点的坐标为 （15，10） ．
【思路点拔】观察点的坐标特点寻找规律即可．
【解答】解：横坐标为1的点有1个，纵坐标为0；
横坐标为2的点有2个，纵坐标为0，1；
横坐标为3的点有3个，纵坐标为0，1，2；
横坐标为4的点有4个，纵坐标为0，1，2，3；
…发现规律：
因为1+2+3+4+…+14＝105，
因为在第14行点的走向为向上，
所以第105个点的坐标为（14，13），
因为第15行点的走向为向下，
故第110个点在此行上，
横坐标为15，纵坐标为从106个点（15，14）向下数4个点，即为10；
故第110个点的坐标为（15，10）
故答案为（15，10）．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）……根据这个规律，探究可得点A2023的坐标是 （2023，﹣2） ．
【思路点拔】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，
点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，
2023÷4＝505……3，
故点A2021坐标是（2023，﹣2）．
故答案为：（2023，﹣2）．
29．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，若已知点A（3，0），B（0，4），则点A99的坐标为 （600，3） ．
【思路点拔】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
点A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理，得
AB＝5，
根据旋转可知：
∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
所以点B2 （12，4），A1 （12，3）；
继续旋转得，
B4 （2×12，4），A3 （24，3）；
B6 （3×12，4），A5 （36，3）
…
发现规律：
B100 （50×12，4），A99 （600，3）．
所以点A99 的坐标为（600，3）．
故答案为（600，3）．
30．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝ ＝1，则点A2024的坐标是 （2024，0） ．
【思路点拔】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2024横坐标为2024，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2024在第一象限，求出点A2024的纵坐标为，得出答案．
【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2024分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2024横坐标为2024，
∵2024÷3＝674……2，而674是偶数，
∴点A2024在x轴，
∴点A2024的纵坐标为0，
即点A2024（2024，0），
故答案为：（2024，0）．
31．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点A2023的坐标为 （﹣675，） ．
【思路点拔】先根据等边三角形的性质和已知条件得出A1的坐标，根据每一个三角形有三个顶点确定出A2023所在的三角形，再求出相应的三角形的边长及A2023的横纵坐标，即可得解．
【解答】解：如图，
∵△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，
它们的边长依次是2，4，6，…，2n，
过点A1 作A1B⊥x轴于点B，连接OA1，
∵点O是所有等边三角形的中心，
∴∠A1OB＝30°，
∵A1A2＝2，
∴OBA1A2＝1，
∴A1 B＝OBtan30°＝1，
∴A1 （﹣1，），
同理，A4A5＝4，
则第二个三角形第1个顶点A4（﹣2，），
同理第三个三角形第1个顶点A7（﹣3，），
∵2023÷3＝674…1，
∴点A2023是第675个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限，
∴点A2023的坐标为：（﹣675，）．
故答案为：（﹣675，）．
32．如图，动点P在直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P的坐标为 （2024，0） ．
【思路点拔】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，……4个数一个循环，进而可得经过第2024次运动后，动点P的坐标．
【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
……，
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0……，4个数一个循环，
所以2024÷4＝506，
所以经过第2024次运动后，
动点P的坐标是（2024，0）．
故答案为：（2024，0）．
33．如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2024个点的坐标为 （45，1） ．
【思路点拔】根据图形推导出 当n为奇数时，第n个正方形每条边上有 （n+1）个 点，连同前边所有正方形共有 （n+1）2 个点，且终 点为（1，n）；当n为偶数时，第n个正方形每条边上 有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有 （n+1）2 点，且终点为 （n+1，0）．而 2024＝452﹣1，由 n+1＝45，解得n＝44．由规律可知，第44个正方 形每条边上有45个点，且终点坐标为（45，0），由 图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案．
【解答】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4＝22个点，且终点为 （1，1）；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形 共有 9＝32个点，且终点为 （3，0）；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16＝42个点，且终点为 （1，3）；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有 25＝52 个点，且终点为 （5，0）；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有 （n+1）个点，连同前边所有正方形共有 （n+1）2 个点，且终 点为（1，n）；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有（n+1）2 点，且终点为 （n+1，0）．
而2024＝452﹣1，n+1＝45，
解得：n＝44．
由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且 终点坐标为（45，0），由图可知，再倒着推1个点的坐标为：（45，1）．
故答案为：（45，1）．
34．如图，在单位为1的平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2024的坐标为 （2，﹣1012） ．
【思路点拔】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2024÷4＝506，A2024在第四象限，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解．
【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，
∴直角顶点的纵坐标的绝对值等于斜边长度的一半为斜边的一半，
∴A4（2，﹣2），A8（2，﹣4），A12（2，﹣6）…，
∵2024÷4＝506，
∴点A2024在第四象限，横坐标是2，纵坐标是﹣2024÷2＝﹣1012，
∴A2024的坐标为（2，﹣1012）．
故答案为：（2，﹣1012）．
35．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 （2025，1） ．
【思路点拔】根据前几次运动的规律可知第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规律求解即可．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……，
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2025÷4＝4×506......1，
∴第2025次接着运动到点（2025，1），
故答案为：（2025，1）．
36．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P2024的坐标是 （2024，2） ．
【思路点拔】根据图象可知点P的横坐标每次加1，纵坐标在﹣3，﹣1，﹣3，2，0中依次循环出现据此解答即可．
【解答】解：由图形可知，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，结合运动后点P的坐标特征：
点P的横坐标每次加1，纵坐标在﹣3，﹣1，﹣3，2，0中依次循环出现．
∵2024÷5＝404余4，
∴P点纵坐标为2，
∴第2024次运动后，动点P2024的坐标是（2024，2）．
故答案为：（2024，2）．
37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 （﹣1，﹣1） ．
【思路点拔】先通过点的坐标计算出线段的长度，找出其规律或者循环，得出一个循环也就是一个四边形ABCD的周长，然后再根据循环的个数结合计算进行解题．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD是一个矩形，
∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴矩形ABCD周长为2（3+2）＝10，
∵2024＝10×202+4，
∴细线可以绕着四边形转202圈，回到点A，并剩下4个单位，
∵AB＝2，BC＝3，
∴细线得另一端所在位置坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
38．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1） ，根据这个规律，第2025个点的坐标为 （1，44） ．
【思路点拔】由第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为（1，4），得第（2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数），由2025＝（2×22+1）2可得第2025个点的横坐标为1，又由图可得当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，据此即可求解．
【解答】解：由图可得，第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为（1，4），
∴第（2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数），
∵2025＝（2×22+1）2，
∴第2025个点的横坐标为1，
又当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，
∵，
∴第2025个点的纵坐标为，
∴第2025个点的坐标为（1，44），
故答案为：（1，44）．
39．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，1），（1，2），（2，1），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 （5，10） .
【思路点拔】根据“→”方向，按照三角形斜边方向上的点的个数为连续自然数求出总个数的表达式，并且第奇数排从横坐标为1开始，第偶数排到最后一个点的横坐标为1结束，然后求出与第110个点最接近的点，然后确定答案即可．
【解答】解：从直角三角形斜边考虑，斜边上的点的个数分别为1、2、3、4、…，
所以点的总个数为：
1+2+3+4+…+n，
当n＝14时，105，
所以第110个点是当n＝15时的第5个点，
即第15个斜边上点为：
（1，14），（2，13），（3，12），（4，11），（5，10）…
所以第110个点的坐标为（5，10）．
故答案为：（5，10）．
40．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→……，按此规律，记（0，0）为第1个点，则第782个点的坐标为 （520，521） ．
【思路点拔】根据题意得到3个一循环的坐标规律，用782除以3得到具体位置即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→…，
∴3个点为一组，每个的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），（2n﹣2，2n﹣1），（2n﹣1，2n﹣1），
∵782÷3＝260.....2，
∴第782个点的坐标为：（2×261﹣2，2×261﹣1）＝（520，521），
故答案为：（520，521）．
41．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）……根据这个规律探索可得，第50个点的坐标为 （10，0） ．
【思路点拔】用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…以此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．
【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵1+2+3+…+9＝45，1+2+3+…+10＝55，
∴第50个点在第10列上，
∴奇数列的坐标为；
偶数列的坐标为，
由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行，
将10代入上式得）即（10，0），
故答案为：（10，0）．
42．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 （﹣43，45） ．
【思路点拔】按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有（2n﹣1）个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而452＝2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．
【解答】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有（2n﹣1）个，且这n个点的横坐标从左往右依次是﹣n+1，﹣n+2，……，﹣1，0，1，……，n﹣1；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；
∵452＝2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，
∴最左边的点坐标为（﹣44，45），即第2025个点的坐标，
∴第2024个点的坐标为（﹣43，45）．
故答案为：（﹣43，45）．
43．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为（1，0），第2个点的坐标为（2，0），第3个点的坐标为（2，1）……根据这个规律，第2024个点的坐标为 （45，1） ．
【思路点拔】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边下角的点横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2024最接近的平方数为2025，然后写出第2024个点的坐标即可．
【解答】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，
且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看作按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，
∵452＝2025，
∴第2025个点在x轴上坐标为（45，0），
则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度，
∴第2024个点的坐标是（45，1）．
故答案为：（45，1）．
44．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．点P从点A出发，并按A→B→C→D→A……的规律在四边形ABCD的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 （﹣1，﹣1） ．
【思路点拔】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴AB+BC+CD+AD＝10，
∵点P从点A出发，并按A→B→C→D→A…的规律在四边形ABCD的边上运动，
∴当P点运动的路程为2022时，
2024÷10＝202……4，
∴此时点P所在位置在线段BC上，
∴点P所在位置的点的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
45．如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D、C、P、H在x轴上，A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2），把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 （﹣1，0） ．
【思路点拔】根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点在A，B中点处的y轴上，直接求解即可．
【解答】解：∵AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D、C、P、H在x轴上，A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2），
∴C点坐标为（﹣1，0），点P坐标为（1，0）
∴AB＝2，BC＝AP＝2，CD＝PH＝2，DE＝HG＝2，EG＝6，
∴按A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A缠绕一周的总长度为2+2+2+2+6+2+2+2＝20，
∵2024÷20＝101......4，
∴细线另一端所在位置的点在C处，
∴细线另一端所在位置的点的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．中小学教育资源及组卷应用平台
《平面直角坐标系的规律探究题》
一．选择题（共26小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，一动点自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至点P1（1，1），然后向左运动2个单位长度至点P2（﹣1，1）处，再向下运动3个单位长度至点P3（﹣1，﹣2）处，再向右运动4个单位长度至点P4（3，﹣2）处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至P2024处时，点P2024的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，﹣1012）
C．（1013，﹣1012） D．（1013，1013）
2．如图，在平面直角坐标系中，动点P按箭头所示的方向做折线运动，第一次从原点运动到（1，0），第二次从（1，0）运动到（1，1），第三次从（1，1）运动到（2，1），第四次从（2，1）运动到（2，﹣1），第五次从（2，﹣1）运动到（3，﹣1），第六次从（3，﹣1）运动到（3，2）……，按这样的运动规律（向右始终保持运动一个单位长度，向上或向下比前一次的向下或向上都多运动一个单位长度），经过第2024次，点P的坐标是（ ）
A．（1011，506） B．（1011，﹣506）
C．（1012，506） D．（1012，﹣506）
3．如图，在平面直角坐标系中，有一点N自P0（0，﹣1）处向右运动1个单位至P1（1，﹣1），然后向上运动2个单位至P2处，再向左运动3个单位至P3处，再向下运动4个单位至P4处，再向右运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P107的坐标为（ ）
A．（53，﹣54） B．（﹣55，54） C．（﹣54，53） D．（﹣53，﹣53）
4．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标是（﹣1，﹣1），若将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，…，如此平移下去，则第2022次平移后点A的坐标是 （ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
5．如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别向左、右运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是（ ）
A．（﹣2023，4046） B．（﹣2022，22023）
C．（﹣2022，4046） D．（﹣2023，22023）
6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（﹣3，﹣1），连接AB，把线段AB向右平移4个单位长度得到线段A1B1，连接AA1、BB1，已知小蚂蚁从A点开始出发以每秒1个单位长度的速度按A﹣A1﹣B1﹣B﹣A方向匀速循环爬行，2023秒后小蚂蚁所在位置的点的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（1，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，﹣1）
7．如图，在直角坐标系中，边长为2的等边△OA1A2的一条边OA2在x的正半轴上，O为坐标原点；将△OA1A2沿x轴正方形依此向右移动4个单位，依次得△A3A4A5，△A6A7A8…，则顶点A2019的坐标为（ ）
A．（2690，0） B．（2692，0） C．（2694，0） D．无法确定
8．如图，点A1（1，1）向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到A4，…，按照这个规律平移得到的点A2022，则点A2022的横坐标为（ ）
A．22021 B．22022﹣1 C．22022 D．22022+1
9．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A2023的坐标为（ ）
A．（﹣2024，0） B．（﹣2022，0） C．（0，﹣2024） D．（0，﹣2022）
10．如图，在平面直角坐标系中，一质点自P0（1，0）处向上运动1个单位长度至P1（1，1）．然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，...，按此规律继续运动，则P2023的坐标是（ ）
A．（﹣1011，1011） B．（1011，﹣1012）
C．（﹣1011，﹣1012） D．（﹣1012，﹣1013）
11．如图，在坐标平面上，小明从点P（0，﹣6）出发，每天都是先向左走2个单位，再向上走3个单位．小明第一天由P点走到P1点，第二天由P1点走到P2点，…．那么小明第2024天走到的点的坐标是（ ）
A．（4048，﹣6066） B．（﹣2024，6072）
C．（2024，﹣6072） D．（﹣4048，6066）
12．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0）．点A第一次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2023时，点的坐标是（ ）
A．（1010，1011） B．（1011，1012）
C．（1010，1012） D．（1011，1013）
13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A．（1012，1013） B．（1011，1012）
C．（1013，1012） D．（1012，1011）
14．如图，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0）．点A第一次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A2024的坐标是（ ）
A．（1010，1011） B．（1011，1012）
C．（1010，1012） D．（1011，1013）
15．在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动一个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处……，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，……，则x1+x2+……+x2018+x2019的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．2019
16．如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A．（﹣506，1012） B．（﹣507，1012）
C．（507，1012） D．（506，1013）
17．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（﹣1，0）出发，依次经过点A1（0，﹣2），A2（0，0），A3（0，2），A4（1，0），A5（2，﹣2）…根据这个规律，探究可得A2023的坐标为（ ）
A．（1010，﹣2） B．（1010，0） C．（1010，2） D．（1011，2）
18．如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2024的坐标是（ ）
A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2023，﹣2） D．（2023，2）
19．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过2024秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2022，0） C．（2023，﹣1） D．（2024，0）
20．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1（0，1），A2（1，0），A3（2，0），A4（0，2），A5（0，3），A6（3，0），A7（4，0），A8（0，4），…，按此规律，则点A2024的坐标是（ ）
A．（0，1011） B．（1011，0） C．（0，1012） D．（1012，0）
21．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1，A2，A3，A4，...表示，（A1在第三象限，顺时针依次为A2，A3，A4，A5在第三象限，顺时针依次为A6，A7，A8，依此类推…）则顶点A2024的坐标是（ ）
A．（505，﹣505） B．（﹣505，505）
C．（506，﹣506） D．（﹣506，506）
22．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．（0，1） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
23．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…．依次扩展下去，则P2021的坐标为（ ）
A．（505，505） B．（﹣505，505）
C．（﹣505，﹣506） D．（﹣506，505）
24．如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，……，则点M2024的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1）
25．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7， 都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6， 的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（ ）
A．（﹣1010，0） B．（﹣1008，0） C．（2，﹣505） D．（1，506）
26．如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2023次运动到点（ ）
A．（2023，2） B．（4046，0） C．（2023，4） D．（4046，4）
二．填空题（共19小题）
27．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第110个点的坐标为 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）……根据这个规律，探究可得点A2023的坐标是 ．
29．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，若已知点A（3，0），B（0，4），则点A99的坐标为 ．
30．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝ ＝1，则点A2024的坐标是 ．
31．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点A2023的坐标为 ．
32．如图，动点P在直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P的坐标为 ．
33．如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2024个点的坐标为 ．
34．如图，在单位为1的平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2024的坐标为 ．
35．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 ．
36．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，﹣3），第二次运动到点P2（2，﹣1），第三次运动到P3（3，﹣3）…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点P2024的坐标是 ．
37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A 的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1） ，根据这个规律，第2025个点的坐标为 ．
39．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点为（1，0），后面依次为（2，0），（1，1），（1，2），（2，1），（3，0）…，根据这个规律，第110个点的坐标为 .
40．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→……，按此规律，记（0，0）为第1个点，则第782个点的坐标为 ．
41．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）……根据这个规律探索可得，第50个点的坐标为 ．
42．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ．
43．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为（1，0），第2个点的坐标为（2，0），第3个点的坐标为（2，1）……根据这个规律，第2024个点的坐标为 ．
44．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．点P从点A出发，并按A→B→C→D→A……的规律在四边形ABCD的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 ．
45．如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D、C、P、H在x轴上，A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2），把一条长为2024个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标 ．
