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《平面直角坐标系---平移变换》提升训练题
一．选择题（共17小题）
1．将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（ ）
A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6）
2．点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，1） C．（﹣6，7） D．（﹣6，1）
3．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7）
4．将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣4，1） C．（2，5） D．（1，0）
5．数轴上的点M表示﹣2，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（ ）
A．6 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣6
6．将点A（1，﹣2）按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位后与点B重合，则点B的坐标为（ ）
A．（7，﹣4） B．（﹣3，0） C．（5，﹣4） D．（﹣4，5）
7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（4，﹣2）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点B，则点B的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣6） C．（6，2） D．（6，﹣6）
8．点A，B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，OA＝1，OB＝2，将线段AB平移至A′B′，若点A′，B′的坐标分别为（2，a），（b，1），则a﹣b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
9．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，4）
10．如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4）
11．如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（x，y），将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为（0，4），则点B′的坐标为（ ）
A．（x﹣3，y﹣3） B．（x+3，y﹣3） C．（x+3，y+3） D．（x+3，y+4）
12．在平面直角坐标系中，把点A（1，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．若点B的横坐标和纵坐标互为相反数，则n＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知坐标平面内的点A（2，﹣1），现在把原点向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点A在新坐标系中的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣5） B．（﹣1，﹣4） C．（5，3） D．（﹣4，3）
14．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
15．在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．在平面直角坐标系中，若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标是（ ）
A．（8，8） B．（6，10） C．（﹣4，0） D．（﹣2，﹣2）
17．在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，6） C．（﹣4，2） D．（2，6）
二．填空题（共14小题）
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，若点A1的坐标为（3，1），则点B1的坐标为 ．
19．在平面直角坐标系中，将点（3，2）向左平移m个单位得到的点的坐标为（﹣4.5，2），则m＝ ．
20．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′，则A′的坐标是 ．
21．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 ．
23．将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 ．
24．在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 ．
25．将点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ．
26．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位长度得到点P'，且点P'在x轴上，那么点P的坐标是 ．
27．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
28．如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 ．
29．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ．
30．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ．
31．如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ ．
三．解答题（共29小题）
32．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|．
【实践操作】
（1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 ．
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）．
①如图1，△ABC的面积为 ；
②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
33．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）．
（1）写出D，E，F三点的坐标；
（2）画出三角形DEF；
（3）求三角形DEF的面积．
34．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ， ）的坐标；
（2）求出△ABC的面积＝ ；
（3）点P在y轴上，且△BCP是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．
35．如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 ；
（2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
36．三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A' ，B′ ．
（2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？
（3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是多少？
（4）求三角形ABC的面积．
37．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；
（1）直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系．
38．如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 ；顶点C1的坐标为 ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为 ．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC．
（1）四边形OACB的面积为 ；
（2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标；
（3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标．
40．如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
41．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A ，A′ ；
（2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，2n）是三角形ABC内部一点，经过相同的平移后对应点M′的坐标为（2n，2m），求m和n的值．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请直接写出△ABC的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出△A1B1C1内部所有的整点的坐标．
43．如图1，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置．
（1）点C的坐标是 ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在y轴上有一动点P，求三角形PCD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得三角形ACP的面积为22，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．在平面直角坐标系中，已知，A（1，a），B（2a，b），，过点M作直线l1平行于y轴．
（1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围；
（2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值；
（3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”．
①点A （填写“是”或“不是”）直线l1的“密接点”；
②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l1上，点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l2平行于x轴，点B是否为直线l2的“密接点”，说明理由．
45．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
46．如图，将△ABC向左、向下分别平移5个单位，得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求出△A1B1C1的面积；
（3）若点P（a，b）是△ABC内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
47．如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（2）若点M（a+1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4+b），求a和b的值；
（3）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ．
48．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积．
49．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A的对应点为C，点B的对应点为D．
（1）若平移后点C，D同时在坐标轴上，分别写出点C，D的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出线段CD，点M（m，0）是x轴上一个动点，且2＜m＜4，试判断∠ABM，∠BMD，∠CDM之间的数量关系，并证明你的结论．
50．在四边形ABCD中，A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），C（4，﹣1），D（1，1）．现将四边形ABCD沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移4个单位长度．
（1）求出平移后四个顶点A1，B1，C1，D1的坐标；
（2）求四边形A1B1C1D1的面积．
51．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'；
（2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 ．
（3）求三角形ABC的面积．
52．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．
（1）分别写出点A'、B'、C'的坐标；
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），求△POB的面积．
53．如图所示，四边形ABCD中，AB∥OC，BC∥AO，A、C两点的坐标分别为（，）、（﹣2，0），A、B两点间的距离等于O、C两点间的距离．
（1）点B的坐标为 ；
（2）将这个四边形向下平移2个单位长度后得到四边形A′B′C′O′，请你写出平移后四边形四个顶点的坐标．
54．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣5，4），（﹣3，0），（0，2）．
（1）在图中画出三角形ABC，并求其面积；
（2）已知三角形A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，若P（a，b）为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标是 ．
55．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
56．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
57．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△A1B1C1．
（1）平移后的△A1B1C1的一个顶点C1的坐标为 ；
（2）点Q是x轴上的动点，当线段C1Q最短时，点Q的坐标是 ；依据为 ；
（3）求出△ABC的面积；
（4）在线段AB上有一点P0，经上述两次平移后到P（m，n），则P0的坐标为 ；它到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 .（用含m，n的式子表示）
58．定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点．
例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）．
（1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 ；
②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝ ；
（2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a）
①求△OMN的面积；
②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围 ；
（3）当时，点M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2），若y1﹣y2＝2，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值．
59．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足，将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），连接AD，BC，CD．
（1）点C的坐标为 ．
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAD的面积等于8？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
60．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标；
（2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为（10﹣2n，m﹣1），求m和n的值．中小学教育资源及组卷应用平台
《平面直角坐标系---平移变换》提升训练题
一．选择题（共17小题）
1．将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（ ）
A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6）
【思路点拔】根据平移中点的变化规律即可解答．
【解答】解：点A′的坐标为（﹣3+4，2﹣4），即（1，﹣2）．
故选：C．
2．点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，1） C．（﹣6，7） D．（﹣6，1）
【思路点拔】根据平移的规律，即可求解．
【解答】解：将点P（﹣4，4）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得点P′（﹣4﹣2，4﹣3）即（﹣6，1）．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣7） D．（1，﹣7）
【思路点拔】利用平移变换的规律解决问题．
【解答】解：点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A'，则A'的坐标（﹣3，1）．
故选：A．
4．将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣4，1） C．（2，5） D．（1，0）
【思路点拔】根据题意可得将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【解答】解：∵将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），
∴将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，
∵Q（﹣4，1），
∴点P的坐标为（﹣4+3，1+2），即（﹣1，3），
故选：A．
5．数轴上的点M表示﹣2，将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N，那么点N表示的数是（ ）
A．6 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣6
【思路点拔】根据数轴上向右移动是加，计算即可得出答案．
【解答】解：由M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位，再向右平移3个单位到点N，此时点N所对应的数为﹣2+5+3＝6，
因此点N所表示的数为6．
故选：A．
6．将点A（1，﹣2）按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移4个单位后与点B重合，则点B的坐标为（ ）
A．（7，﹣4） B．（﹣3，0） C．（5，﹣4） D．（﹣4，5）
【思路点拔】根据平移规律“左减右加，上加下减”即可求解．
【解答】解：根据平移法则点B（1﹣4，﹣2+2），即B（﹣3，0），
故选：B．
7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（4，﹣2）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点B，则点B的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣6） C．（6，2） D．（6，﹣6）
【思路点拔】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点A（4，﹣2）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点B，
则点B的坐标是（4﹣2，﹣2+4），即（2，2）．
故选：A．
8．点A，B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，OA＝1，OB＝2，将线段AB平移至A′B′，若点A′，B′的坐标分别为（2，a），（b，1），则a﹣b＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【思路点拔】由题意，线段A′B′由线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，即可得出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：如图
A、B的坐标分别为（﹣1，0）和（0，2），A′、B′的坐标分别为（2，a）和（b，1），
∴线段A′B′由线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
∴a＝0﹣1＝﹣1；
b＝0+3＝3；
∴a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选：D．
9．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，4）
【思路点拔】由B（3，0）可得OB＝3，进而得到BE＝1，即将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A1B1C1，点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），若点A1的坐标为（5，﹣1），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4）
【思路点拔】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A1B1C1内对应点P1（a+8，b﹣5），
∴设A（x，y），
∵点A1的坐标为（5，﹣1），
∴x+8＝5，y﹣5＝﹣1，
解得x＝﹣3，y＝4，
∴A（﹣3，4）．
故选：D．
11．如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（x，y），将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为（0，4），则点B′的坐标为（ ）
A．（x﹣3，y﹣3） B．（x+3，y﹣3） C．（x+3，y+3） D．（x+3，y+4）
【思路点拔】由点A（﹣3，1）平移至点A′（0，4），可得平移规律，再根据平移规律即可得出结果；
【解答】解：由点A（﹣3，1）平移至点A′（0，4），可得平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴点B′的坐标为（x+3，y+3）．
故选：C．
12．在平面直角坐标系中，把点A（1，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．若点B的横坐标和纵坐标互为相反数，则n＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】由平移得点B的坐标为（﹣1，n﹣3），进而可得n﹣3＝﹣（﹣1）＝1，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（1，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为（﹣1，n﹣3）．
∵点B的横坐标和纵坐标互为相反数，
∴n﹣3＝﹣（﹣1）＝1，
∴n＝4．
故答案为：C．
13．已知坐标平面内的点A（2，﹣1），现在把原点向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点A在新坐标系中的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣5） B．（﹣1，﹣4） C．（5，3） D．（﹣4，3）
【思路点拔】横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．平移原点的规律转化点的平移规律，根据点的平移：左减右加，上加下减解答可得．
【解答】解：把原点向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，相当于将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点A在新坐标系中的坐标为A（2+3，﹣1+4），即（5，3），
故选：C．
14．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
【思路点拔】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（3，﹣1），
∴线段A′B′是由线段AB先向右平移5个单位，再向下平移2个单位得到，
而点B的对应点为B′（4，0），
∴点B的坐标为（﹣1，2）．
故选：B．
15．在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【解答】解：把点A（m，2）先向右平移1个单位坐标变为（m+1，2），再向上平移3个单位得到点B（m+1，5），
当点B的横坐标和纵坐标相等时，即m+1＝5，
即m＝4，
故选：A．
16．在平面直角坐标系中，若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标是（ ）
A．（8，8） B．（6，10） C．（﹣4，0） D．（﹣2，﹣2）
【思路点拔】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向上平移，横坐标不变，纵坐标加，求出点B的横坐标与纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征即可求解．
【解答】解：将若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），
则点A的坐标为（2﹣4，4﹣6），即（﹣2，﹣2），
故选：D．
17．在平面直角坐标系中，将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，6） C．（﹣4，2） D．（2，6）
【思路点拔】根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可．
【解答】解：将点A向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点B（﹣1，4）重合，
∴点A的坐标为：（﹣1+3，4﹣2），即：（2，2）；
故选：A．
二．填空题（共14小题）
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1，若点A1的坐标为（3，1），则点B1的坐标为 （1，﹣3） ．
【思路点拔】首先根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C的横坐标加5，纵坐标﹣2即为点C1的坐标．
【解答】解：由A（﹣2，3）平移后点A1的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2，
则点B的坐标变化与A点的变化相同，故B1（﹣4+5，﹣1﹣2），即（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
19．在平面直角坐标系中，将点（3，2）向左平移m个单位得到的点的坐标为（﹣4.5，2），则m＝ 7.5 ．
【思路点拔】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
【解答】解：∵将点（3，2）向左平移m个单位得到的点的坐标为（﹣4.5，2），
∴3﹣m＝﹣4.5，
∴m＝7.5．
故答案为：7.5．
20．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′，则A′的坐标是 （﹣3，1） ．
【思路点拔】根据点的平移法则：左减右加、上加下减即可得到答案．
【解答】解：∵左减右加、上加下减，
∴点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′，
∴A′的坐标是（﹣1﹣2，﹣3+4），即（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）．
21．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 （3，4） ．
【思路点拔】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）．
故答案为：（3，4）．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 （6，0） ．
【思路点拔】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，0）的对应点C的坐标为（4，﹣3），
∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位，
∴B（0，3）的对应点D的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
23．将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 （5，﹣3） ．
【思路点拔】根据点（x，y）向左平移a个单位长度，得（x﹣a，y）；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得（x，y+b），即可．
【解答】解：设点P（x，y），
∴点P（x，y）向左平移5个单位长度，得P（x﹣5，y）；点P（x﹣5，y）向上平移4个单位长度，得P（x﹣5，y+4），
∵平移后点P′（0，1），
∴x﹣5＝0，y+4＝1，
解得x＝5，y＝﹣3
∴点P的坐标为（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
24．在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 （1，2） ．
【思路点拔】根据点A及点A对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
【解答】解：因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后对应点A′的坐标为（2，1），
所以2﹣2＝0，1﹣（﹣1）＝2，
所以1+0＝1，0+2＝2，
所以点B的对应点B′的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
25．将点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 （0，﹣9） ．
【思路点拔】利用平移的性质构建方程即可解决问题即可．
【解答】解：∵点P（2a+1，a﹣5）向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点Q，
∴Q（2a+1+3，a﹣5﹣2），即Q（2a+4，a﹣7）
∵点Q恰好落在y轴上，
∴2a+4＝0，
解得a＝﹣2，
将a＝﹣2代入Q（2a+4，a﹣7）得：Q（0，﹣9），
故答案为：（0，﹣9）．
26．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位长度得到点P'，且点P'在x轴上，那么点P的坐标是 （5，﹣1） ．
【思路点拔】由点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位长度得到点P'（2m+3，m﹣2+1），且点P'在x轴上，得m﹣2+1＝0，即m＝1，即可得P的坐标是（5，﹣1）．
【解答】解：由点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位长度得到点P'（2m+3，m﹣2+1），且点P'在x轴上，
得m﹣2+1＝0，即m＝1，
得P的坐标是（5，﹣1）．
故答案为：（5，﹣1）．
27．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 （3，4） ．
【思路点拔】由题意知，线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，结合平移的性质可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），
∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，
∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
28．如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 （4，4） ．
【思路点拔】由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，得AC＝BE＝8﹣6＝2，由点A的坐标是（2，4），即可得点C的坐标为（4，4）．
【解答】解：由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，
得AC＝BE＝8﹣6＝2，
由点A的坐标是（2，4），
则点C的坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
29．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（1，n），则m﹣n的值为 ﹣1 ．
【思路点拔】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解答】解：∵点A（1，0）平移后得到点C（﹣2，1），
∴线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向左平移3个单位，
∴m+1＝n，
∴m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
30．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 （3，0） ．
【思路点拔】利用点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，把A点的横坐标加4，纵坐标减3即可得到点B的坐标．
【解答】解：将点A（﹣1，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是（﹣1+4，3﹣3），即（3，0），
故答案为：（3，0）．
31．如图，点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），将线段AB平移至A1B1时得到A1、B1两点的坐标分别是（3，b）、（a，4），则a+b＝ 4 ．
【思路点拔】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得a、b的值．
【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），平移后A1（3，b），B1（a，4），
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∴a＝0+2＝2，b＝0+2＝2，
∴a+b＝2+2＝4
故答案为4
三．解答题（共29小题）
32．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|．
【实践操作】
（1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 3 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 N（1，2）或N（1，﹣2） ．
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）．
①如图1，△ABC的面积为 10 ；
②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【思路点拔】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可；
（2）①先计算BC，OA，再利用面积公式计算即可；
②设D（m，n），由等积法，得到m＝2n﹣4，再结合图形，利用S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE得到点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：MN＝2﹣（﹣1）＝3，
∵M（1，0），MN∥y，MN＝2，
∴|0﹣yN|＝2，
∴yN＝﹣2或yN＝2，
N（1，﹣2）或N（1，2）；
故答案为：3；N（1，2）或N（1，﹣2）
（2）①∵A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3），
∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，OA＝4，
，
②连接OD，OE，
设D（m，n），
∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB，
∴，
∴m＝2n﹣4，
根据平移的性质可得：E（2n﹣1，n），
∵S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE，
，
∴，
∴，
∴．
33．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）．
（1）写出D，E，F三点的坐标；
（2）画出三角形DEF；
（3）求三角形DEF的面积．
【思路点拔】（1）直接利用P点平移变化规律得出答案；
（2）直接利用各对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形DEF所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）；
（2）如图所示：△DEF即为所求作的图形；
（3）S△DEF＝5×35×14×21×3
＝15﹣2.5﹣4﹣1.5
＝7．
34．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′（ 0 ， 4 ）、B′（ ﹣1 ， ﹣1 ）、C′（ 3 ， 1 ）的坐标；
（2）求出△ABC的面积＝ 6 ；
（3）点P在y轴上，且△BCP是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用三角形面积公式求解即可；
（3）设P（0，m），构建方程求出m即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
故答案为：A'（0，4），B'（﹣1，﹣1），C'（3，1）；
（2）S△ABC4×3＝6；
故答案为：6．
（3）设P（0，m），
∵△BCP是△ABC的面积的2倍，
∴4×|m+2|4×3×2，
解得m＝4或﹣8，
∴P（0，4）或（0，﹣8）
35．如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC．
（1）直接写出点C的坐标 （4，3） ；
（2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC．
①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由；
②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．
【思路点拔】（1）根据题意利用平移的性质直接写出平移后的点坐标即可；
（2）根据题意可知△PCD的面积为定值，利用面积公式将CD作为底，点P到CD距离为高，继而求得面积；
（3）设点P的坐标为（1，m），利用动点三角形面积公式列式继而求出m的值即可，继而求出点P的坐标和运动时间t．
【解答】解：（1）∵BC＝4，
∴C（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）①△PCD的面积是定值，证明：
∵C（4，3），D（4，0），
∴CD＝3，
∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，
∴点P到CD距离为△PCD高，且恒为定值，
∵E（1，0），
∴DE＝3，
∴点P到CD距离为3，
∴；
②设点P的坐标为（1，m），
∵A（﹣4，0），C（4，3），点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，，
∴
∵△PCA的面积为，
∴，
∴m＝6（舍）或，
∴点P的坐标为，
∴t的值为：．
36．三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A' （﹣3，1） ，B′ （﹣2，﹣2） ．
（2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？
（3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是多少？
（4）求三角形ABC的面积．
【思路点拔】（1）由图可得答案．
（2）根据平移的性质可知，三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的．
（3）根据平移的性质可知，点P的坐标是（x+4，y+2）．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由图可得，A'（﹣3，1），B'（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣3，1）；（﹣2，﹣2）．
（2）由图可得，三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的．
（3）由题意得，点P的坐标是（x+4，y+2）．
（4）三角形ABC的面积为2．
37．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；
（1）直接写出坐标：点C（ ﹣1，3 ），点D（ ﹣1，﹣2 ）．
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系．
【思路点拔】（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解；
（3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧或直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），
故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2；
（2）设t秒后MN∥x轴，
∴5﹣t＝0.5t﹣2，
解得t，
∴t时，MN∥x轴；
（3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB．
②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC．
③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC．
38．如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 （0，3） ；顶点C1的坐标为 （4，0） ．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为 （6，0）或（2，0） ．
【思路点拔】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；
（3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）如图，
△A1B1C1为所作，顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）；
故答案为：（0，3）；（4，0）；
（2）4×42×42×14×3＝5，
答：△A1B1C1的面积为5；
（3）设P点得坐标为（t，0），
则3×|t﹣4|＝3，
解得t＝6或t＝2，
即P点坐标为（6，0）或（2，0）．
故答案为：（6，0）或（2，0）．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC．
（1）四边形OACB的面积为 11 ；
（2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标；
（3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质可得m﹣3＝0，n﹣4＝0，进而可得点C的坐标为（3，4）．利用割补法求四边形OACB的面积即可．
（2）设点D的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．
（3）设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，根据题意可列方程为，可得a＝1，则点P的坐标为（0，1），即线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ，结合平移的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
解得m＝3，n＝4，
∴点C的坐标为（3，4）．
∴四边形OACB的面积为S△AOC+S△BOC8+3＝11．
故答案为：11．
（2）设点D的坐标为（m，0），
∵三角形ADC的面积为10，
∴，
解得m＝9或﹣1，
∴点D的坐标为（9，0）或（﹣1，0）．
（3）如图，
∵点P在线段OB上，
∴设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，
∴三角形PAC的面积为S四边形OACB﹣S△PBC﹣S△AOP，
解得a＝1，
∴点P的坐标为（0，1），
∴线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ，
∴点A的对应点Q的坐标为（1，﹣3）．
40．如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【思路点拔】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）由平移的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
∴点C'（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×53×52×35×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
41．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A （﹣4，4） ，A′ （0，﹣2） ；
（2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，2n）是三角形ABC内部一点，经过相同的平移后对应点M′的坐标为（2n，2m），求m和n的值．
【思路点拔】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【解答】解：（1）观察图象可知A（﹣4，4），A′（0，﹣2）；
故答案为：（﹣4，4），（0，﹣2）；
（2）三角形A′B'C′是由三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到的；
（3）由题意，，
解得，．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（0，﹣2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请直接写出△ABC的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出△A1B1C1内部所有的整点的坐标．
【思路点拔】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用将△ABC分割成两个三角形进而得出答案；
（3）直接利用所画图形得出符合题意的点．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）S△ABC3×13×2＝4.5；
（3）△A1B1C1内部所有的整点的坐标为：（2，2），（2，1），（3，0）．
43．如图1，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置．
（1）点C的坐标是 （4，3） ；
（2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在y轴上有一动点P，求三角形PCD的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得三角形ACP的面积为22，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据平移的性质即可解决问题．
（2）根据CD平行于y轴，得出CD边上的高，即可求出△PCD的面积．
（3）求出AC于y轴的交点坐标，再根据△ACP的面积为22，求出OP的长即可解决问题．
【解答】解：（1）因为OC由AB向右平移4个单位得到，且点B坐标为（0，3），
所以点C的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
（2）因为CD⊥x轴，且点C坐标为（4，3），
所以CD＝3．
因为点P在y轴上，
所以点P到CD的距离为4，
所以．
（3）存在．
令直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线AC的函数解析式为y．
令直线AC与y轴的交点为M，
则点M的坐标为（0，）．
因为△ACP的面积为22，
所以，
解得PM，
所以，
所以点P的坐标为（0，7）或（0，﹣4）．
44．在平面直角坐标系中，已知，A（1，a），B（2a，b），，过点M作直线l1平行于y轴．
（1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围；
（2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值；
（3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”．
①点A 是 （填写“是”或“不是”）直线l1的“密接点”；
②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l1上，点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l2平行于x轴，点B是否为直线l2的“密接点”，说明理由．
【思路点拔】（1）根据线段BC与x轴有公共点，得到点B在x轴下方，点C在x轴上方，据此列不等式求解即可；
（2）根据线段AC通过平移能够与线段BM重合，得到，据此列式求解即可；
（3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出a，b的值，可得结论．
【解答】解：（1）如果线段BC与x轴有公共点，则点B在x轴下方，
∴b≤0，
点C在x轴上方，
∴b+1≥0，即b≥﹣1，
∴﹣1≤b≤0；
（2）∵线段AC通过平移能够与线段BM重合，
∴，即，
解得；
（3）①∵点A到直线l1的距离为
∴点A是直线l1的“密接点”
故答案为：是；
②点B不是l2的“密接点”，理由如下：
∵点F刚好落在直线l1上，
∴△ABC向右平移的距离为1，
∴点E的横坐标为2a+1，点D的横坐标为2，
由题意可得：2a+1＝0，解得，
点E的纵坐标为：2a﹣b＝﹣1﹣b，
∵△ODE的面积为4，
∴，
解得b＝﹣5或b＝3，
当，b＝3时，，B（﹣1，3），此时点B到l2的距离为，则点B不是l2的“密接点”；
当，b＝﹣5时，，B（﹣1，﹣5），此时点B到l2的距离为，则点B不是l2的“密接点”；
综上，点B不是l2的“密接点”．
45．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ 1 ， 3 ），B（ 2 ， 0 ），C（ 3 ， 1 ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点P'的坐标为（ x﹣4 ， y﹣2 ）；
（3）求△A'B'C'的面积．
【思路点拔】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质解决问题即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1），
故答案为：1，3，2，0，3，1；
（2）P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：x﹣4，y﹣2；
（3）△A'B'C'的面积＝2×31×31×12×2＝2．
46．如图，将△ABC向左、向下分别平移5个单位，得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求出△A1B1C1的面积；
（3）若点P（a，b）是△ABC内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
【思路点拔】（1）利用点平移的规律描出点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；
（2）利用平移的规律求出5，5，10，根据勾股定理逆定理推出△A1B1C1是直角三角形，根据直角三角形的面积公式求解即可；
（3）利用平移的规律写出点P平移后对应点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）根据图形可知，22+12＝5，22+12＝5，32+12＝10，
∴10，
∴△A1B1C1是直角三角形，且∠B1＝90°，
∴△A1B1C1的面积B1C1 A1B1；
（3）根据平移的规律得点P（a，b）平移后对应点的坐标为（a﹣5，b﹣5）．
47．如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（2）若点M（a+1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4+b），求a和b的值；
（3）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ∠CBC′＝∠B′C′O+90° ．
【思路点拔】（1）根据所给图形，即可得出点B和点B′的坐标，进而得出平移的方式即可解决问题．
（2）根据（1）中所得平移方式即可解决问题．
（3）根据平移的性质，得出BC∥B′C′，结合平行线的性质和∠BC′O﹣90°即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
点B的坐标为（2，1），点B′的坐标为（﹣1，﹣2），
所以2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，
则△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到）．
（2）因为点M是△ABC内一点，
所以平移后点M对应点的坐标可表示为（a+1﹣3，2b﹣5﹣3），
因为平移后点M对应点N的坐标为（2a﹣7，4+b），
所以a+1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4+b，
解得a＝5，b＝12．
（3）由平移可知，
BC∥B′C′，
所以∠CBC′＝∠B′C′B．
因为∠B′C′B＝∠B′C′O+∠BC′O＝∠B′C′O+90°，
所以∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
故答案为：∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
48．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 6 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积．
【思路点拔】（1）根据题意得出OA＝2，OB＝2，OC＝4，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点D坐标；①连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC进行计算即可得到答案；②根据△PAO的面积等于△CAO的面积，求解即可．
【解答】解：（1）∵O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴BC＝OB+OC＝6，
∴．
故答案为：6；
（2）∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，B（﹣2，0），
∴得到对应点D坐标为（5，4），
连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵D（5，4），
∴DE＝5，DF＝4，
∴S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC
＝9．
49．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A的对应点为C，点B的对应点为D．
（1）若平移后点C，D同时在坐标轴上，分别写出点C，D的坐标；
（2）在（1）的条件下，画出线段CD，点M（m，0）是x轴上一个动点，且2＜m＜4，试判断∠ABM，∠BMD，∠CDM之间的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拔】（1）根据平移的性质，进行求解即可；
（2）过点M作AB∥MN，进而得到∠ABM+∠BMN＝180°，平移得到AB∥CD，进而得到MN∥CD，得到∠NMD+∠CDM＝180°，进而得到∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°，即可．
【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A 的对应点为C，点B的对应点为D，
当平移后点C，D 同时在坐标轴上，分两种情况，
当点C在y轴上，点D在x轴上时：则C的横坐标为0，D的纵坐标为0，
∴平移规则为：先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
∴C（0，1），D（2，0）；
当点C在x轴上，点D在y轴上时：则C的纵坐标为0，D的横坐标为0，
∴平移规则为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴D（0，﹣1），C（﹣2，0）；
（2）∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°，
证明：过点M作AB∥MN，
则∠ABM+∠BMN＝180°，
由平移可得AB∥CD，
∴MN∥CD，
则∠NMD+∠CDM＝180°，
∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°．
50．在四边形ABCD中，A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），C（4，﹣1），D（1，1）．现将四边形ABCD沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移4个单位长度．
（1）求出平移后四个顶点A1，B1，C1，D1的坐标；
（2）求四边形A1B1C1D1的面积．
【思路点拔】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A1，B1，C1，D1即可；
（2）根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：（1）A1（﹣5，3），B1（﹣2，1），C1（1，3），D1（﹣2，5）．
（2）四边形A1B1C1D1的面积6×4＝12．
51．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（4，1），C（1，2），将三角形ABC进行平移，使点A与坐标原点O重合，得到三角形OB'C'，其中B′，C′分别为点B，C的对应点．（1）画出三角形OB'C'；
（2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是 （m﹣4，n﹣5） ．
（3）求三角形ABC的面积．
【思路点拔】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案；
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵点A与坐标原点O重合，
∴将点A、B、C分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点，
如图，△A'B'C'即为所求：
（2）若点P（m，n）为三角形ABC内一点，则平移后点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣5）；
故答案为：（m﹣4，n﹣5）；
（3）△ABC的面积为3×46．
52．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．
（1）分别写出点A'、B'、C'的坐标；
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），求△POB的面积．
【思路点拔】（1）根据已知图形可得答案；
（2）由一组对应点可得平移方向和距离；
（3）利用平面直角坐标系中点的坐标平移规律可得，利用三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）由图知A'（﹣3，1），B'（﹣2，﹣2），C'（﹣1，﹣1）；
（2）△A'B'C'是由△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度得到的；
（3）∵点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），
∴a﹣4＝﹣2，b﹣2＝﹣1，
∴a＝2，b＝1，
∴点P的坐标为（2，1），
∴△POB的面积为2×11．
53．如图所示，四边形ABCD中，AB∥OC，BC∥AO，A、C两点的坐标分别为（，）、（﹣2，0），A、B两点间的距离等于O、C两点间的距离．
（1）点B的坐标为 （﹣3，） ；
（2）将这个四边形向下平移2个单位长度后得到四边形A′B′C′O′，请你写出平移后四边形四个顶点的坐标．
【思路点拔】（1）先由C点的坐标得出OC＝2．根据AB∥OC，AB＝OC可知将A点向左平移2个单位得到B点的坐标，再利用向左平移，横坐标相减纵坐标不变即可求出点B的坐标；
（2）根据向下平移，横坐标不变纵坐标相减即可求出各点的坐标．
【解答】解：（1）∵C点的坐标为（﹣2，0），
∴OC＝2．
∵AB∥OC，AB＝OC，
∴将A点向左平移2个单位得到B点的坐标，
∵A点的坐标为（，），
∴点B的坐标为（2，），即（﹣3，）．
故答案为（﹣3，）；
（2）∵将四边形ABCD向下平移2个单位长度后得到四边形A′B′C′O′，
∴A′点的坐标为（，），点B的坐标为（﹣3，），C′点的坐标为（﹣2，﹣2），O′点的坐标为（0，﹣2）．
54．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣5，4），（﹣3，0），（0，2）．
（1）在图中画出三角形ABC，并求其面积；
（2）已知三角形A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，若P（a，b）为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标是 （a+4，b﹣3） ．
【思路点拔】（1）直接利用A，B，C点坐标得出△ABC的位置，进而利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出平移规律即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求，
△ABC的面积为：4×52×52×42×3＝8；
（2）由（1）可知，三角形A'B'C'可以由三角形ABC向右平移4个单位，然后向下平移3个单位得到，
∴P（a，b）为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标是（a+4，b﹣3）．
故答案为：（a+4，b﹣3）．
55．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 1，4 ）、B（ 3，0 ）、C（ 2，﹣4 ）；
②直接写出三角形AOH的面积 2 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【思路点拔】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．
【解答】（1）解：①∵，
又∵0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），
故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
②△AOH的面积1×4＝2，
故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．
∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，
∴1×n4×（1﹣m）＝2，
∴4m＝n．
（3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t，
解得t＝1.2．
此时P（0.6，0）．
②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t，
解得t＝2，
此时P（﹣1，0），
综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
56．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ 3 ， 0 ）、D（ ﹣2 ， 1 ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出其值．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．利用平行线的性质求解即可；
（3）结论：∠CQA＝2∠MCN．设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，理由平行线的性质、角平分线的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵（a+b﹣7）2＝0，
又∵0．（a+b﹣7）2≥0，
∴a＝3．b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），D（﹣2，1），
故答案为3，0，﹣2，1．
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．
理由：如图1中，延长DE交CA的延长线于T．
∵DE⊥y轴，
∴DT∥OG，
∴∠T+∠OAT＝180°，
∵BD∥CT，
∴∠D＝∠T，
∵∠CAG＝∠OAT，
∴∠BDE+∠CAG＝180°．
（3）如图2中，结论：∠CQA＝2∠MCN．
理由：设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，
∵CF∥AQ，
∴∠FCQ＝∠CQA＝y，
∵∠ACM＝∠QCM＝z，
∴∠QCN＝z﹣x，
∵∠FCN＝∠ACN，
∴y+（z﹣x）＝x+z，
∴y＝2x，即∠CQA＝2∠MCN．
57．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△A1B1C1．
（1）平移后的△A1B1C1的一个顶点C1的坐标为 （4，1） ；
（2）点Q是x轴上的动点，当线段C1Q最短时，点Q的坐标是 （4，0） ；依据为 垂线段最短； ；
（3）求出△ABC的面积；
（4）在线段AB上有一点P0，经上述两次平移后到P（m，n），则P0的坐标为 （m﹣5，n+1） ；它到x轴的距离为 n+1 ，到y轴的距离为 5﹣m .（用含m，n的式子表示）
【思路点拔】（1）根据坐标中点的平移特征即可求解；
（2）根据垂线段最短，作出图形，可得结论；
（3）利用四边形面积减去三个三角形的面积求解即可；
（4）根据坐标中点的平移特征即可求解．
【解答】解：（1）根据坐标中点的平移特点得C1的坐标为（4，1）
故答案为：（4，1）；
（2）如图，点Q即为所求，点Q的坐标为（4，0），依据为垂线段最短，
故答案为：（4，0），垂线段最短；
（3）△ABC的面积为：；
（4）∵P0向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到P（m，n），
∴P0（m﹣5，n+1），它到x轴的距离为n+1，到y轴的距离为5﹣m，
故答案为：（m﹣5，n+1），n+1，5﹣m．
58．定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点．
例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）．
（1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 （2，﹣1） ；
②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝ 3 ；
（2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a）
①求△OMN的面积；
②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围 t，且t≠﹣7 ；
（3）当时，点M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2），若y1﹣y2＝2，且其中一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值．
【思路点拔】（1）①掌握等距平移点的定义计算即可．
②掌握等距平移点的定义计算即可．
（2）①由等距平移点的定义得0﹣2a＝﹣9+4a，再计算即可．
②由△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，再计算即可．
（3）由等距平移点的定义得﹣y1﹣2a＝y2，又y1﹣y2＝2，故y1＝1﹣a，y2＝﹣1﹣a，由一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，再分类计算即可．
【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，M（4，3），
∴4+2×（﹣1）＝2，﹣3﹣2×（﹣1）＝﹣1，
∴N（2，﹣1）．
②∵M（﹣2，1），N（4，﹣7），
∴﹣2+2a＝4，
∴a＝3．
故答案为：N（2，﹣1），3．
（2）①设M（x，0），
∵N（﹣2a+1，﹣9+4a），
∴0﹣2a＝﹣9+4a，
∴a．
∴x+2a＝﹣2a+1，
∴x＝﹣5，
∴M（﹣5，0），
∴△OMN面积5×3．
②∵△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，
∴[﹣2﹣（﹣5）]，
∴t，且t≠﹣7．
（3）∵M（x，y1）的等距平移点是N（x+2a，y2），
∴﹣y1﹣2a＝y2，
又y1﹣y2＝2，
∴y1＝1﹣a，y2＝﹣1﹣a，
∵一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，
∴2或2，
当1﹣a＝2（﹣1﹣a）时，
a．
当1﹣a＝﹣2（﹣1﹣a）时，
a＝﹣3．
当2（1﹣a）＝﹣1﹣a时，
a．
当2（1﹣a）＝﹣（﹣1﹣a）时，
a＝3，
∵
∴x≥8.5，或x≤2.5，无解．
综上所述，a或﹣3或．
59．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足，将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），连接AD，BC，CD．
（1）点C的坐标为 （5，4） ．
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAD的面积等于8？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
【思路点拔】（1）由非负数的性质可求点A，点B坐标，由A的对应点为D得出平移规律，进而求出点C的坐标；
（2）设在x轴上存在点P（x，0），根据△PAD的面积等于8列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴点A（﹣2，0），B（3，0）．
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，
∵将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），
∴CD＝AB＝5，
∴点C（5，4），
故答案为：（5，4）；
（2）设在x轴上存在点P（x，0），使△PAD的面积等于8，
则，
∴x＝﹣6或2，
∴点P（﹣6，0）或（2，0）．
60．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标；
（2）请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为（10﹣2n，m﹣1），求m和n的值．
【思路点拔】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【解答】解：（1）由图可得：A（1，0），A′（﹣4，4）；
（2）三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）由题意得，解得.
