2024-2025学年安徽省“1号卷·A10联盟”2025届高二11月期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省“1号卷·A10联盟”2025届高二11月期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则( )
A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于平面对称
C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于平面对称
2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与轴交于点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.若点在圆的外部，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆且，直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名他的著作圆锥曲线论是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆阿波罗尼斯圆是其成果之一在平面上给定相异两点，，设点在同一平面上，且满足，当且时，点的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆在中，，且，当面积取得最大值时，( )
A. B. C. D.
8.已知点在椭圆上点不是椭圆的顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，交轴于点，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若直线不经过第四象限，则
D. 若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，则面积的最小值是
10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，是椭圆上的一个动点不与，重合，则( )
A. 离心率 B. 的周长与点的位置无关
C. D. 直线与直线的斜率之积为定值
11.如图，正方体的棱长为，为上底面内部一点包括边界，，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是( )
A. 当直线和直线所成的角是时，点的轨迹长度是
B. 若平面，则的最小值为
C. 若，则直线和底面所成的最大角是
D. 平面被正方体所截的截面形状是六边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆过，两点，且圆心在直线上，则该圆的半径为 ．
13.已知实数，满足，则的取值范围为 ．
14.已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程．
与直线垂直
两坐标轴上截距相反．
16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，分别为，的中点，，．
求证：异面直线和垂直
求点到平面的距离．
17.已知过点的直线与圆相交于，两点．
若弦的长度为，求直线的方程
在轴正半轴上是否存在定点，无论直线如何运动，轴都平分若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．
18.如图，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图，．
求证：平面平面
若点是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为．
求的标准方程
过点的直线交于，两点，若以为直径的圆过的右焦点，求直线的方程
两条不同的直线，的交点为的左焦点，直线，分别交于点，和点，，点，分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值为坐标原点．
参考答案
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15.解：因为，所以，
则直线的方程为，即．
当两坐标轴上截距为时，设直线的方程为，将代入，得，解得，
，即．
当两坐标轴上截距不为时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，
，即．
综上，直线的方程为或．
16.证明：以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，．
易得，，所以，
所以异面直线和垂直．
易得，
设平面的法向量为，则
即，令，则．
因为，所以点到平面的距离为．
17.解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨得，，则，与题意不符，舍去．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．
由弦长公式得圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故直线的方程为或．
当直线轴时，直线的方程为，
不妨得，，此时轴平分．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，，
所以，．
若轴平分，则，即，，
即，，解得．
当点为时，能使得轴平分恒成立．
18.解：过点，分别向直线作垂线，垂足分别为点，．
因为，，所以，，，
因为，，
所以
，
即，所以，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
如图，以中的点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，
所以．
设平面与平面所成锐二面角为，
则，．

19.解：由题意得，，所以．
因为短轴长为，所以，解得，所以，所以的标准方程为．
由知，．
当直线的斜率不存在时，不妨得，
此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，
则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在．
设直线的方程为，，，
联立消去得，，且，．
因为以为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，整理得，
即，化简得，即，
即直线的方程为或．
由知，，则直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
联立消去得，，所以，
所以，，即
因为，所以，则
记的中点为，则，
所以，
当且仅当，即时，
取等号，所以的面积最大值为．
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