2024-2025学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.若，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.“”是“关于的不等式的解集为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知某商品每件的成本为元，每月销量万件与每件售价元的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为注：净利润销售总额总成本( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 存在最大值 B. 的解集为
C. 在上单调递减 D. 对任意，有
10.已知集合，，，若存在，使得中恰有个元素，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.命题“，”的否定是______．
12.计算： ______．
13.设实数，满足：，，则的取值范围是______．
14.若函数在上的值域为，则的最小值为______；最大值为______．
15.已知是上的奇函数，记不等式的解集为．
给出下列四个结论：
一定有；
可能存在且；
若当时，，则一定有；
若当时，，且，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.设集合，．
Ⅰ若，求，；
Ⅱ若，求的取值范围．
17.已知关于的方程有两个不相等的正实数根，．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ若，求的值；
Ⅲ若，求的取值范围．
18.已知函数为上的偶函数，且当时，．
Ⅰ当时，求的解析式；
Ⅱ判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明；
Ⅲ若，且，试比较与的大小，并说明理由．
19.给出能够说明“若，则”是假命题的一组，的值： ______； ______．
20.已知集合，，且，满足：，，，则 ______； ______．
21.已知为奇函数．
______；
若恰有两个整数解，则的取值范围是______．
22.函数．
当时，的单调递增区间为______；
若恰有三个零点，则的取值范围是______．
23.已知，．
Ⅰ求的最小值；
Ⅱ对于Ⅰ中取得最小值的每组，，都有恒成立，求的取值范围．
24.已知函数．
Ⅰ当时，求证：；
Ⅱ若在上的最小值为，求的值；
Ⅲ若存在，使得，求的取值范围．
25.对于非空有限数集，记或，表示中所有元素的个数．
Ⅰ若，用列举法直接写出；
Ⅱ给定且，设，对于且，记，求的最小值用表示；
Ⅲ设非空有限数集，满足以下条件：
；
；
．
求证：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.，
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ集合，
当时，或，
所以或，
因为，
所以；
Ⅱ集合，或，
因为，所以，
所以或
解得或，
所以的取值范围是．
17.解：Ⅰ由题意可知，，
解得且，
即的取值范围是；
Ⅱ因为，，
所以，
整理得，
解得或，经检验合题；
Ⅲ因为，，
，
当时：，
因此，符合题意，
当时：，
因此，不符合题意，
综上所述，的取值范围是．
18.解：Ⅰ函数为上的偶函数，且当时，，
当时，，，
因为为偶函数，所以；
Ⅱ结论：在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则
因此，在上单调递减；
Ⅲ结论：，理由如下：
因为，，
所以，
当时，，且，在上单调递减，
所以
当时，，且，在上单调递减，
所以，
因为为偶函数，故，
综上：．
19.
20.
21.
22.
23.解：Ⅰ因为，，
所以，，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
Ⅱ要使每组，，都有恒成立，
此时当时，需满足，
即，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
此时需满足，
即，
整理得且，
解得．
综上，的取值范围为．
24.解：Ⅰ证明：当时，，
，
所以；
Ⅱ因为的开口向上，对称轴为，
当时，
当时，，则，符合题意；
当时，，则或，均不合题意；
当时，，
则，符合题意，
综上，或；
Ⅲ由题知：存在，使得，
即存在，使得，
对于，由于，有，故不合题意，
即必有，
对于，记，只需上，，
当时，有，符合题意；
当时，有，不合题意，
综上，的取值范围是．
25.解：Ⅰ；
Ⅱ当时：，
若为奇数，，当且仅当时取等，
若为偶数，，当且仅当时取等，
当时：，
若为奇数，，当且仅当时取等．
若为偶数，，当且仅当时取等，
综上，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，的最小值为．
Ⅲ证明：对于，记且，且，
那么有：，，
，，
所以：，
，
因为，，
那么，，，均为非空集合，
，
进而有：，
任取，因为，那么，
由于，因此，
而，那么，所以，
如果，那么，所以，
与矛盾，所以有，
同理，任取，有，
所以：与间元素存在一一对应关系
因此，所以
第1页，共1页