河南省郑州外国语学校2024-2025学年高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖已知某种霉菌的数量与其繁殖时间天满足关系式：若繁殖天后，这种霉菌的数量为，天后数量为，则要使数量达到大约需要，结果四舍五入取整
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 与是同一个函数
B. 函数的值域为
C. 已知，，则“”是“”的必要不充分条件
D. 函数的最小值为
10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.设函数，则( )
A. 直线是曲线的对称轴
B. 若函数在上单调递减，则
C. 对，，不等式总成立
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间是______．
13.已知函数，其中，为奇函数，若，则 ______．
14.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，，用，表示；
解关于的不等式：．
16.本小题分
已知命题：对任意，且，不等式恒成立；命题：，．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求，；
若在上的最大值为，求实数的值；
若，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数为奇函数．
解不等式；
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．
写出二次函数的一个“跟随区间”；
求证：函数不存在“跟随区间”；
已知函数有“倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值．
参考答案
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14.
15.解：，，
则；
，即，
当，即时，，
当，即时，不等式无解，
当，即时，，
综上所述，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
16.解：，
当且仅当即取得等号．
要使得命题为真命题，只需要，解得
所以实数的取值范围是．
令，当时．
要使得命题为真命题，只需要，故．
若命题和命题都是假命题，
此时或，可得．
所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是．
17.解：因为，
所以，．
是开口向上的抛物线，对称轴为，，
当，即时，，
解得：，满足要求；
当，即时，，
解得：，满足要求；
综上：或．
，
令，因为，所以，当且仅当，即时取等号，
因为，恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，因为在上单调递减，则，
所以，即，所以实数的取值范围为．
18.解：依题意，，
即，
整理得，
解得，经检验，符合题意；
则函数，其定义域为，
由，得，即，
整理得，解得，
所以不等式的解集为．
因为函数在上单调递增，
故当时，，
由得在的值域，
又，，
设，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上的值域，
依题意，，
于是，解得，
所以实数的取值范围是．
19.解：若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，
若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，
若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．
因为，所以值域为，所以“跟随区间”，
又在上单调递增，所以，，
从而有两个非负根，解得或，
所以二次函数的一个“跟随区间”为；
证明：，设，
可设，或，，
因为在，上单调递增，
若是函数的“跟随区间”，
则，则，是的两个不等且同号的实根，
又，所以无实数根，
所以函数不存在“跟随区间”；
因为函数有“倍跟随区间”，
的定义域为，
则，所以，，或，，
所以在上单调递增，
因为函数有“倍跟随区间”，
则有，所以，是方程的两个不等且同号的实根，
即有两个不等且同号的实根，
所以，得
，，
所以
，
当且仅当时，取得最大值．
当时符合的条件，
所以取得最大值时，的值为．
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