2024-2025学年上海市青浦区朱家角中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦区朱家角中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，那么下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
2.若，，，，下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.设集合其中常数，，其中常数，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.已知集合，，则 ______．
6.对数式中的取值范围为______．
7.不等式的解集为______．
8.将化成有理数指数幂的形式为______．
9.用反证法证明命题“若，则或”，则应假设______．
10.已知，，用，的代数式表示 ______．
11.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ．
12.设，求方程的解集______．
13.已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ______．
14.关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是______．
15.定义：关于的不等式的解集叫的邻域若的邻域为区间，则的最小值是______．
16.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第个子集是______．
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合，求集合．
18.本小题分
已知关于的方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，求实数的值．
19.本小题分
近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用万购进一批盲盒生产线，每年可有万的总收入，已知生产此盲盒年为正整数所用的各种费用总计为万元．
该公司第几年首次盈利总收入超过总支出，今年为第一年？
该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
20.本小题分
设，，已知集合，集合．
若，求的取值范围；
若时，，求实数的取值范围．
21.本小题分
定义为个实数，，，中的最小数，为个实数，，，中的最大数．
设，都是正实数，且，求；
解不等式：；
设，都是正实数，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.且
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，或，
故集合
18.解：因为方程有两个实数根，，
所以，
解得，
即实数的取值范围；
因为方程有两个实数根，，
所以，，
所以，
所以，
解得或，
又因为，
所以．
19.解：设利润为，
则为正整数，
令得，解得，
又为正整数，
则，即该公司第年首次盈利；
由得且为正整数，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故第年时，平均利润最大，且为万元．
20.解：显然，
若，则，
所以，
解得，
即的取值范围为；
若，则，
集合，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，符合题意，
当时，，
若，则或，
解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
21.解：由基本不等式，所以；
由于，
则，
当时，原不等式可化为，即，结合得；
当时，原不等式可化为，
即或，
解得或，即；
综上，原不等式解集为：；
设，则，
于是，从而，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
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