2024-2025学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，为虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的最小正周期为，则的图象( )
A. 关于点对称 B. 关于对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
5.将，，，四个数字排成一行，可以组成不同的位数的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，成等比数列，且，为自然对数的底数若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. 在第一象限 B. C. D. 的虚部为
10.已知，则( )
A. 为偶函数 B. 是的最小正周期
C. 在区间上单调递增 D. 的值域为
11.如图，平面四边形中，对角线，的交点为，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则( )
A.
B.
C. 是等差数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的常数项是______用数字作答
13.已知是第四象限角，且，则 ．
14.在中，若，则角的范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
Ⅰ若，求；
Ⅱ设，若，求的夹角．
16.本小题分
在中，，．
求；
若的周长为；求边上中线的长．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
Ⅰ求函数的解析式，并求出在上的值域；
Ⅱ若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称求的最小值．
18.本小题分
如果正项有穷数列，，，满足，，即，我们称其为“的对称数列”，例如：数列，，，与数列，，，，都是“的对称数列”．
Ⅰ设是项数为的“的对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，请依次写出的每一项；
Ⅱ设数列是项的“的对称数列”，其中，是等比数列，，，求数列的所有项和的最小值；
Ⅲ设数列是项的“的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和注：
19.本小题分
已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
；
对于，使得的正整数对恰有个．
Ⅰ若等差数列，，，，为的增数列，求的值；
Ⅱ若数列，，，为的增数列，求的最小值；
Ⅲ若存在的增数列，求的最大值．
参考答案
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15.解：Ⅰ由，，
可得，
由，
可得，
解得，所以；
Ⅱ由，，
可得，
即
得：，
因为，所以，
所以，将代入可得：
，
因为，所以，
所以，，故，，
所以，
又，所以．
16.解：根据正弦定理由，
因为，所以，即，所以；
由可知，而，所以，
因此，由余弦定理可知：，
因为的周长为，所以有，
设边上中点为，所以，
由余弦定理可知：，
所以边上中线的长．
17.解：Ⅰ由函数的部分图象知，
，所以，即，
由，所以，即，
由解得，，满足题意；
所以函数，
时，，的最小值为，
最大值为，
所以在上的值域是；
Ⅱ将函数的图象向右平移个单位，
得，
令，，解得，；
所以的最小值为．
18.解：Ⅰ，，，是等差数列，且，，
可得公差，可得，，，，，，，；
Ⅱ设数列是项的“的对称数列”，，其中，是公比为的等比数列，，，
则，，解得，，可得，，，，，，，，，，，
可得数列的所有项和，当且仅当，取得最小值；
Ⅲ数列前项的通项公式为，可得数列前项的和为
，
由数列是项的“的对称数列”，可得数列后项的和为，
则数列的前项和．
19.解：Ⅰ由题意得，根据的增数列的定义，，
因为，，，，，
所以对于，使得的正整数对有，，，，，，，，，共对，
所以，于是．
Ⅱ由题意得，数列，，，为的增数列，
即，且对于，使得的正整数对恰有个，
所以数列各项中必有不同的项，所以，
若，则满足要求的数列中有五项为，一项为，所以，不符合题意，所以；
若，则满足要求的数列中有四项为，两项为，此时数列为，
满足要求的整数对分别为，，，，，，，，符合的增数列，
所以当时，存在的增数列，
故的最小值为．
Ⅲ由题意得，若数列中的每个项都相等，则，
若，则数列中存在大于的项，若首项，则将拆分成个后变大，
所以此时不是最大值，故，
当，，，时，若，则交换和顺序后变为，所以此时不是最大值，所以，
若，，此时将变为并在数列首位添加一项，则值变大，所以此时不是最大值，
所以，
若数列中存在相邻的两项，，设此时中有项为，将改为，并在数列首位前添加个后，的值至少变为，
所以此时也不是最大值．
综上，若为最大值，则数列中的各项只能为或，
所以数列为，，，，，，，的形式，
设其中有项为，项为，
因为存在的增数列，所以，
所以，
所以当且仅当，时，取最大值．
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