2024-2025学年山东省百师联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省百师联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.设向量，，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象若对任意的都有，则图中的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数若方程恰有个不相等的实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，的极大值大于
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，曲线的对称中心的横坐标为定值
11.已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则( )
A. 曲线的轨迹方程为
B. 若，为曲线上的动点，则的最小值为
C. 过点，恰有条直线与曲线有且只有一个公共点
D. 圆与曲线交于、两点，与交于、两点，则、、、四点围成的四边形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ______．
13.曲线在点处的切线与抛物线相切，则 ______．
14.已知双曲线与平行于轴的动直线交于，两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，则双曲线的离心率是______；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足．
求角；
若，求周长的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求的取值范围；
若，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且．
证明：平面；
若与平面所成的角是，求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，已知椭圆：上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点．
求椭圆的方程；
若，求直线的方程；
当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
19.本小题分
若有穷数列且满足，则称为数列．
判断下列数列是否为数列，并说明理由；
，，，．
，，，．
已知数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
已知数列是且个连续正整数，，，的一个排列．若，求的所有取值．
参考答案
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15.解：由及正弦定理得：，
故，
即，
因为，，则，
所以，
因为，所以；
由可知，，
由余弦定理，得，
又，所以，
由基本不等式得：，即，
所以，当且仅当时，等号成立；
又，
即，又，所以，
所以，
即周长的取值范围是．
16.解：由，则，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
所以，即，
构造函数，所以，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时取得极大值也是最大值，即，所以，
所以的取值范围为．
证明：由题意得的定义域为，
当时，要证，即证：，等价于证明
构造函数，即证；
所以，令，
因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，
且，，所以存在，使，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值也是最小值，
又因为，得，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，即，
所以即证，所以可证．
17.解：证明：设的中点为，连接，，由为中点，得且，
又且，则，，
四边形为平行四边形，则，又平面，平面，
所以平面．
取的中点，连接，取的中点，连接，，
则且，由平面，得平面，
则与平面所成的角为，
即，，
菱形中，，则，即，，
直线，，两两垂直，
以点原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
由平面得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
因此，
所以二面角的余弦值为．
18.解：因为椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，
所以，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
因为直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
若，
此时，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不满足条件；
当时，直线的方程为，满足条件，
所以直线的方程为；
证明：因为直线，均不与轴垂直，
所以直线不经过点和，
所以且，
由知，
．
故为定值．
19.解：因为，所以该数列不是数列，
因为，所以该数列是数列．
证明：先证必要性：
若数列是等差数列，设公差为，
则，
所以数列是常数列，
再证充分性：
若数列是常数列，
则，即，
所以或，
因为数列的各项互不相同，
所以，
所以数列是等差数列．
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为，，，此时，符合题意；
当时，数列为，，，，此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意．
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
；
；
，
当时，因为，
由知：，，，是公差为或的等差数列，
当公差为时，由得或，
所以或，与已知矛盾，
当公差为时，同理得出与已知矛盾，
所以当时，不存在满足题意，
其它情况同理可得．
综上可知，的所有取值为或．
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