福建省名校联盟部分中学2025届高三上学期期中质量检测数学试题（含答案）

福建省名校联盟部分中学2025届高三上学期期中质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.若直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
5.已知，均为锐角，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，均为正实数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象经过四个象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为
10.已知函数满足，则( )
A.
B. 点是曲线的对称中心
C. 在区间上单调递减
D. 若函数在区间上恰有两个极值点，则
11.已知函数的定义域为，满足，则( )
A. B. C. 是偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等比数列，若，则数列的前项和为 ．
13.已知函数的图象关于直线对称，则 ．
14.在平面四边形中，若，，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为．
求的方程；
已知点，直线过且与交于，两点，若，求的方程．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，三棱柱中，点在底面的射影为，，，，，是的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值；
若，求；
证明：．
19.本小题分
若有穷数列满足：；，则称为数列．
已知是数列，写出的所有可能值；
已知是数列，对任意给定的，将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列．
证明：当时，是等差数列；
求中所有项的和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
右焦点为，离心率为，
由椭圆的性质知，焦距，因此；
离心率公式为，解得；
再根据椭圆的定义，代入和的值，可以求得．
因此，椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线的斜率存在时，
当斜率为时，过的直线的方程为，此时，符合题意；
当斜率不为时，设直线的方程为，，
联立，消去，整理得，
所以，，
设线段的中点为，
则，
，
因为，而，
所以，所以，
即，解得或，
所以直线的方程为或．
综上所述，直线的方程为或或

16.
由可得：，
由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以，
所以．
由可得：，
所以，由正弦定理可得：，
所以，
由正弦定理可得：，又因为，
所以，
所以面积为：，
当即时取等．
所以面积的最大值为．

17.
证明：连接并延长交于，连接，
由题意平面，平面，
所以，
又，所以与全等，即，所以，
又，即，所以，，
所以，
所以，即，所以为的中点，
又是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
过点作，如图建立空间直角坐标系，
，
设，则有，
，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，解得，即，
所以三棱柱的体积为．

18.
当时，，，，
，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则，所以，
设，，
所以，
令，因为在上单调递减，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，即，
即，
由知，，即，所以．
当时，由可得，成立；
当时，当时，，
由知，，则；
当时，，
由知，，即，所以，
则，
综上所述，．

19.
，设，，
故，
因为或，故．
，设，
所以，
不妨设是中所有可能中的任意两个，
假设，，
不妨设，，，，，
所以，
不妨设，则
，
即中的种表示中，其取值互不相等，
即数列中共有项，易得，
，故；
又
，故中恒成立，
故是以等差数列为首项，为公差的等差数列；
当时，只有两项，分别为，故和为，
当，由可得，因为是等差数列，共有项，
故其所有和为，
综上，中所有项的和为．

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