甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题（含答案）

甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3. ( )
A. B. C. D.
4.年月至月全国城镇调查失业率依次为，则( )
A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的极差为
C. 这组数据的分位数为 D. 这组数据的平均数大于
5.位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为( )
A. B. C. D.
6.箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B.
C. 与的图像关于直线对称 D. 与的图像在上有公共点
10.已知分别是等轴双曲线的左右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则( )
A. 的渐近线方程为 B.
C. D. 四边形的面积为
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增
C. 是的一个极小值点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的实部与虚部之和为 ．
13.九章算术是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题假设一只鸡与一只狗一只狗与一只羊一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为钱，一头驴的价格为一只狗的倍按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 ．
14.在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数在平面内有共个点任意三点均不共线，若将这个点用条线段两两相连，则的度数为 ；若将这个点用条线段两两相连，且这个点的度数均大于，则不同的图形的数量为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线与关于抛物线的准线对称．
求的方程；
若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率．
16.本小题分
某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标地面目标的概率分别为．
若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
现有两枚导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标每枚导弹各射击一个目标，请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望．
17.本小题分
如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点．
若为线段的中点，证明：平面平面．
若直线与平面所成角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线的斜率为，求．
已知恰有两个零点．
求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
设为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集若按照某种确定的对应关系，使得中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在上的二元函数，记作已知二元函数满足，且．
求的值；
求的解析式；
已知数列满足，数列的前项和为，证明：．
参考答案
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15.
由题意得的准线方程为．
由，得，
所以的方程为．
易得的斜率存在，的焦点为．
设，
联立得，
得
则
得，即的斜率为．

16.
由题意得，，所以．
因为，所以安排两枚导弹射击两个空中目标，一枚导弹射击一个地面目标．
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
所以．

17.
证明：是正方形，．
平面平面平面．
平面平面，平面平面，平面平面．
由题意得为的中点，，
四边形为 平行四边形，
平面平面平面
平面平面
分别取的中点，连接易证．
平面平面，平面平面
平面．
设为个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则设，
得．
设平面的法向量为，
则
取，得，则．
由直线与平面所成角的正弦值为
，
解得所以又因为，
所以，
故．

18.
解：由题意得．
因为曲线在处的切线的斜率为，
所以，得．
法一：解：令，得令，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减故．
当趋近正无穷时，趋近，又，
所以，即的取值范围为．
法二：由题意得．
若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点．
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得．
当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；．
故的取值范围为．
证明：由可得，则
两式相加得．
由，得．
要证，只需证．
设，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即．
因为，所以，即．
又，所以，所以，
从而得证．

19.
在中，
令，则，得；
在中，
令，则，得．
因为，
则，
可得，即也成立．
因为，
则，
可得，即也成立．
由知，则，得．
所以，
因为，
且，
可得
．
由，得，则
则
，
即，且，得，
所以．

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