福建省“百校联考”2025届高三11月模拟预测数学试题（含答案）

福建省“百校联考”2025届高三11月模拟预测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的最小正周期为
B. 函数过定点
C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为
D. 函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
11.已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若平面，则点的轨迹长度为
D. 当点为的中点时，到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，则 ．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 ．
14.记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，若，．
求数列的通项公式及前项和；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点．

证明：平面；
若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
函数，其中为整数．
当时，求函数在处的切线方程；
当时，恒成立，求的最大值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求；
求的面积；
在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值．
19.本小题分
设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间．
已知函数，求的凹、凸区间；
如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有．
将不等关系转化为对应的不等式；
证明：当，时，恒成立．
参考答案
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15.【小问详解】
设公差为，则，
，
解得，故；
；
【小问详解】
，
故，
则，
式子得
，
所以．

16.【小问详解】
由，分别为底面半圆弧上的两个三等分点，易知且，
若是中点，而为母线的中点，则且，
所以且，则为平行四边形，故，
由面，面，故平面．
【小问详解】
作，连接，如上图所示，
由题意，面面，，面，面面，
所以面，面，则，
由都在面内，则面，而面，
所以，又都在面内，故面，
由面，则，结合，且面，面，
所以平面与平面的夹角为或其补角，
令等边三角形的边长为，则，由题设易知，则，，
在中上的高，则，
所以，故，
所以平面与平面的夹角余弦值为．

17.【小问详解】
当时，，则，
而，则，
所以函数在处的切线方程为，
即．
【小问详解】
当时，，则恒成立，
当时，由，得，
即，则，
即对于恒成立，
设，，
则，
当时，显然恒成立，则函数 在 上单调递增，
则，满足题意；
当时，令，即，解得，
此时函数在上单调递减，
则，不满足题意．
综上所述，的最大值为．

18.【小问详解】
根据题意，，
因为，所以，
由正弦定理得，所以；
【小问详解】
由余弦定理，，
代入，得，
两边同时除以，，
由于，当且仅当时等号成立，
而，当且仅当时等号成立，
即，
由余弦定理，
即，的面积；
【小问详解】
由可知，，所以，
以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，
，
故可设为变量
则，
所以的最小值为．

19.【小问详解】
因为的定义域为，，
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为；
【小问详解】
对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
，，
，，
所以，，
由，有，
对不等式两边取对数，问题等价于，
恒成立，
构造函数，，
即恒成立，
，令，
，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
，所以当时， 是 凹函数，
由知，，当时，等号成立，
所以时，恒成立，
即恒成立．

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