2024-2025学年青海省西宁市大通县高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年青海省西宁市大通县高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列双曲线中，焦点在轴上的是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则的虚部与实部之差为( )
A. B. C. D.
4.将张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.下列函数中，在上为减函数的是( )
A. B. C. D.
6.若是等差数列，且，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线：的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则使成立的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的终边经过点，则( )
A. B. 可能等于
C. D. 可能等于
10.已知表示不超过的最大整数设函数的两个零点为，，则( )
A. B. C. D.
11.在体积为的正四棱锥中，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A.
B. 二面角的余弦值为
C. 正四棱锥的外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知离散型随机变量的分布列为
则 ______．
13.已知，，且是奇函数，则 ______．
14.已知向量，，满足，，，若恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为，，若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为：：，小张到该批发地任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率；
若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶的概率．
16.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且．
若的面积，，求；
若，求．
17.本小题分
如图，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面．
若，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，，求的取值范围；
若有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上，其反射光线会经过椭圆的另一个焦点已知椭圆：的左、右焦点分别为，，光线从发出，经过上一点不在轴上反射后，到达椭圆上的点，再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设
若的焦距为，，，求的离心率．
证明：．
证明：是等比数列．
参考答案
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15.解：设事件，，分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他买到的红茶是优质品，
若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为：：，
则，
甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为，，，
则，，，
故，
所以他买到的红茶是优质品的概率为．
设事件表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件的情况有：
甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立，
则，
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为．
16.解：根据题意得，解得．
结合，解得，．
由余弦定理，得，可得．
根据、，
由正弦定理得，
因为．
所以，整理得，
即，可得．
因为为三角形的内角，可得，所以，即．
17.解：因为，，都垂直于平面，则．
取的中点，连接，，则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，可得，
且平面，平面，所以平面．
连接以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，，可得．
故点到平面的距离．
18.解：当时，，函数定义域为，
可得，
所以，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
当时，，
此时在上单调递增，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
解得，
则的取值范围为；
因为，
所以为的个零点，
若有个零点，
此时在上有个零点，
此时方程有个不同的实根，
即直线与函数的图象在上有个不同的交点，
设，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
又，
因为直线与函数的图象在上有个不同的交点，
所以．
故的取值范围为．
19.解：椭圆：的左、右焦点分别为，，
光线从发出，经过上一点不在轴上反射后，到达椭圆上的点，
再反射到达上的点，不断反射，得到反射点列，设
的焦距为，，，由题意得，则，．
因为，，三点共线，所以，解得．
又因为，所以的离心率为．
证明：由题意得，，三点共线，其中．
当时，直线的方程为，代入，
得．
由韦达定理得，，
所以
假设，则由可得，
即，解得，此时，则，
这与不在轴上矛盾，所以假设不成立，即．
证明：，，三点共线，其中，
当时，直线的方程为，
与同理可得
由可得．
当时，同理可得．
所以对任意，都有，
即，
可化为，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列．
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