2024-2025学年新疆塔城地区第一高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆塔城地区第一高级中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.关于的不等式的解集是，那么( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比不为，且，，成等差数列，则数列的公比为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知的周长为，面积为，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
8.已知函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.如图，在等腰梯形中，为腰的中点，，，是梯形内包含边界任意一点，与交于点，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线轴对称
D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题“，”是假命题，则的取值范围是______．
13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为______．
14.若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求；
若，求．
16.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
证明数列为等差数列，并求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知等比数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和；
若存在正整数，使得成立，求的取值范围．
19.本小题分
定义：对于函数，，若，，，，则称““为三角形函数．
已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；
已知函数，，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；
若函数，，证明：“”为三角形函数参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理可得

，
因为，则，可得，
即，所以．
因为，即，
由余弦定理可得，即，
整理可得，，
所以．

16.解：由数列的首项为，且满足，
得，则，
两边同时除以，可得，
所以数列是首项，公差为的等差数列，
，所以．
由知，
所以．
17.解：当时，，，
则，
又，
所以切线方程为，即．
．
当时，由，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得或．
若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，在和上单调递增，在上单调递减．
若，则，为上的增函数．
若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，为上的增函数；当时，在和上单调递增，在上单调递减．
18.解：等比数列的前项和为，，，
设公比为，可得，，
解得，，
所以．
由，得，
则，
当为偶数时，令，则，
当为奇数时，．
所以．
由等比数列的求和公式，可得，
存在正整数，使得成立．
当为偶数时，，，
由，得．
因为单调递增，所以的最小值为，
因为单调递减，所以的最大值为，
所以．
当为奇数时，，，
由，得．
因为单调递减，所以的最大值为，
因为单调递增，所以的最小值为，
所以．
综上，的取值范围是．
19.解：由，，
得，
令，解得．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以．
因为为二次函数，且，
所以的对称轴为，
设，
要使“”为三角形函数，
只要，
取，，
则，，
满足，
则，，，，
即成立．
故若，
取，可使得“”为三角形函数答案不唯一；
，，
当时，，
则任意，，，，
故“”为三角形函数；
当时，由，，
则，，
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，，，，
所以；
当时，则，
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，，，，
所以；
综上所述，实数的取值范围为；
证明：，．
由知，，
则任意，，；
下面证明，
由，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递减，
又，
由参考数据可知，
，
则存在唯一的实数，使，
即．
所以当时，
，，在上单调递增；
当时，，，
在上单调递减；
故，
由式可知，
则，
令，
则，
所以在单调递增，
故，
即，
所以，，，成立，
即，
故“”为三角形函数．
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