2024-2025学年江西省九江市瑞昌一中高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省九江市瑞昌一中高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则集合( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
6.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足若，不变，在，后该物体的温度分别为，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则若，则
D. 若，则若，则
7.已知且，，，则( )
A. B.
C. D.
8.在中，，，，点在内部，且，，记，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题；命题，则( )
A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的最大值为
C. 在上单调递减 D. 在上有个零点
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 若是的极小值点，则在上单调递减
B. 若是的极大值点，则且
C. 若，且的极小值大于，则的取值范围为
D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象关于轴对称，则 ．
13.已知函数的最小值为，则 ．
14.已知函数，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式
求在上的值域．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
证明：．
若是的中点，求的最大值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若，，，求的取值范围．
18.本小题分
已知集合，中的元素均为正整数，且，满足：对于任意，，若，都有；对于任意，，若，都有．
已知集合，求；
已知集合，求；
若中有个元素，证明：中恰有个元素．
19.本小题分
已知函数
若是增函数，求的取值范围．
若有极小值，且极小值为，证明：
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：由图可得，的最小正周期．
因为，且，所以，所以
由
所以，，解得，
因为，所以．
故
由，得．
当，即时，取得最大值，最大值为
当，即时，取得最小值，最小值为．
故在上的值域为
16.解：证明：因为，所以 ，
则，
则，即．
因为，，所以，即．
由余弦定理的推论可得，
所以，当且仅当时，等号成立
故的最大值为．
17.解：，
当时，，是减函数当时，是增函数．
令，解得
当时，当，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，是减函数当时，在上单调递减，
在上单调递增．
，即．
令函数，则，所以．
因为在上单调递增，所以，即．
令函数，则．
当时，当，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，．
故的取值范围为
18.解：由可得，，都是中的元素．下面证明中除，，外没有其他元素；
假设中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，中最小元素为，显然 不是中的元素，不符合题意；
第二种情况，中最小的元素为，设中除，，外的元素为，
因为是中的元素，所以为或，而，也是中的元素，所以中除，，外没有其他元素．
综上，．
由可得，，，，，，都是中的元素．显然，，，
由可得，，，是中的元素，即，，是中的元素．
因为，所以，，，解得．
证明：设，且，
由可得，，都是中的元素．显然，
由可得，是中的元素，即是中的元素．
同理可得，，，，，是中的元素．
若，则，所以不可能是中的元素，不符合题意．
若，则，所以，，即，．
又因为，所以，，，即 ，
所以，此时．
假设中还有其他元素，且该元素为，若，由可得，而，与矛盾．
若，因为，所以，，，，，
则，，，，，即，
所以中除，，，， 外，没有其他元素．
所以，即中恰有个元素．
19.解：．
令函数，则．
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
．
因为是增函数，所以，即，解得．
若，则在上恒成立，所以在上单调递增．
因为函数与函数的图象有个交点，所以存在，使得，
即当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，与题设不符．
综上，的取值范围为
证明：由可得当时，是增函数，不存在极小值．
当时，，在上单调递减，所以在上不存在极小值点．
因为，所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增．

当时，由可得．
因为，所以
令函数，则．
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
当时，，，所以．
因为，所以，所以，当且仅当，时，等号成立．
综上，
解：若，，不符合题意．
若，要使得，只需要极小值，即，
所以，解得，即，
，令函数，则．
当时，，单调递减．
因为，所以在上单调递减．
又，，
所以在上的值域为
故的取值范围为
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