2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，向量，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.函数的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
5.若是偶函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为图中的最高点与最低点，为等腰三角形的顶点，则振动的频率是( )
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线相切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.已知函数，则下列结论中正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 点是图象的一个对称中心
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
11.已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是( )
A. 在上是增函数
B. 的图象关于点中心对称
C. 在上有两个极值点
D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，，，则 ______．
13.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高
14.数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为，该曲线即为蔓叶线，其图象如图，若圆与该蔓叶线恰有两个交点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，设函数．
当时，求函数的值域；
已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，且，求面积的最大值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角．
求证：；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
设，分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足，记的轨迹为曲线．
求的方程；
已知点为曲线的上顶点，点，分别为左、右焦点，过点的直线交曲线于另一点，若，求的方程．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求在区间内极值点的个数；
若恒成立，求的值；
求证：．
19.本小题分
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，，进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如例如十进制数，所以在三进制下可写为．
设正整数在三进制下的各位数字之和为；
将满足的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；
在至中任选一个正整数，求为的倍数的概率．
已知正项数列的前项和为，，且，记其中表示不大于的最大整数，求的值用表示
参考答案
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15.解：已知向量，，
则，
设函数，
所以
，
又，则，故，
因此可得，
即函数的值域为；
已知在中，内角、、的对边分别为、、，
由可知，
又，所以，
因为，所以，故，
因为，由可知，，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，
故三角形面积，即面积最大值为．
16.证明：由题意知：平面平面，平面平面，
又，平面，
则平面，
因为平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以
解：以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，


则，，，，
因为，所以，所以，
，，，
设平面的法向量，则，即
令，所以，
设直线与平面所成的角为
则，．
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：设，，，
因为，
所以，，又，
则，
即，变形得：，
即动点的轨迹方程为：；
因为，又为公共边，
所以到的距离等于到的距离，
所以，
又，，，
则，
所以直线：，
联立方程组，
解得：或，
当时，，
当时，，
所以或，
当取点时，又直线过点，
所以，
此时的方程为：，
当取点时，又直线过点，
则直线的斜率不存在，
此时直线的方程为：，
综上，直线的方程为或．
18.解：因为当时，，求导可得，
因为，两函数在上均为减函数，所以在上也为减函数，
又因为，所以，
所以在内存在唯一的零点，
且当时，；当时，；
所以在内无极小值点，存在个极大值点．
因为原函数的导函数，
若，所以，
当时，那么，
所以存在，使得且任意的，总有，
所以在上为减函数，所以任意的，总有，即，
这与题设不合，舍去；
若，那么，因为的图象连续不间断，
所以存在，使得任意的，总有，
所以在上为增函数，所以对于任意的，总有，即，
这与题设不合，舍去；
所以，此时，
当时，，即，所以在上为减函数；
当时，根据第一问的分析可得在为减函数，
所以，，即
所以在上为增函数，所以，
所以恒成立，所以．
根据第二问可知，，当且仅当时等号成立，
所以，
，
因为，
即证明．
令，所以，
即证明，，
令，所以，
因此时，，单调递减，
因此，即，即，，
综上可得，，，．
19.解：由，
可得，，，，
可得该列数的前四个数为，，，；
设，
若为的倍数，则为的倍数，即，
所以，，
，，
，
所以当为的倍数时，，，中恰有一个是的倍数，
，，，，
所以，，都不是的倍数．
而，，，，这个数中，有个是的倍数，
所以为的倍数的概率为．
由时，，可得，
由正项数列的前项和为，，且，
可得，，可得，
因为为正项数列，所以，所以，
因为所以，，，
结合时，，
两式作差得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，
因为，所以设，
则，
当时，，当时，，
所以，即，
，
当时，，当时，，
所以，即，
同理可得 ，
当时，，所以，
所以
．
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